【13】数学建模

2023-12-12 19:38| 来源: 网络整理| 查看: 265

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一、灰色预测使用的场景数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据一定要用我们上一讲学过的时间序列模型）；数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外，后面至少90%的期数的光滑比要低于0.5）；数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于10，也不能太短了，比如只有3期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适二、预测题型的一些常识看到数据后先画时间序列图并简单的分析下趋势（例如：学过的时间序列分解）将数据分为训练组和试验组，尝试使用不同的模型对训练组进行建模，并利用试验组的数据判断哪种模型的预测效果最好（比如我们可以使用SSE这个指标来挑选模型，常见的模型有指数平滑、ARIMA、灰色预测、神经网络等选择上一步骤中得到的预测误差最小的那个模型，并利用全部数据来重新建模，并对未来的数据进行预测画出预测后的数据和原来数据的时序图，看看预测的未来趋势是否合理三、灰色预测的一个案例

对长江水质污染的预测：2005年国赛A题中给出长江在过去10年中废水排放总量，如果不采取保护措施，请对今后10年的长江水质污染的发展趋势做出预测在这里插入图片描述

四、灰色预测之GM(1,1)模型分析

算法流程（可以用流程图在实现一遍）

第一步：画出原始数据的时间序列图，并判断原始数据中是否有负数或期数是否低于4期，如果是的话则报错，否则执行下一步；

第二步：对一次累加后的数据进行准指数规律检验，返回两个指标：

指标1：光滑比小于0.5的数据占比（一般要大于60%）

指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比（一般大于90%）

并让用户决定数据是否满足准指数规律，满足则输入1，不满足则输入0

第三步：如果上一步用户输入0，则程序停止；如果输入1，则继续下面的步骤

第四步：让用户输入需要预测的后续期数，并判断原始数据的期数

数据期数为4：分别计算出传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型对于未来期数的预测结果，为了保证结果的稳健性，对三个结果求平均值作为预测值。数据期数为5,6或7：取最后两期为试验组，前面的n‐2期为训练组；用训练组的数据分别训练三种GM模型，并将训练出来的模型分别用于预测试验组的两期数据；利用试验组两期的真实数据和预测出来的两期数据，可分别计算出三个模型的SSE；选择SSE最小的模型作为我们建模的模型。数据期数大于7：取最后三期为试验组，其他的过程和4.2类似。

第五步：5. 输出并绘制图形显示预测结果，并进行残差检验和级比偏差检验。

具体代码：

传统的GM(1,1)模型 function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num) % 函数作用：使用传统的GM(1,1)模型对数据进行预测 % x0：要预测的原始数据 % predict_num：向后预测的期数 % 输出变量（注意，实际调用时该函数时不一定输出全部结果，就像corrcoef函数一样~，可以只输出相关系数矩阵，也可以附带输出p值矩阵） % result：预测值 % x0_hat：对原始数据的拟合值 % relative_residuals：对模型进行评价时计算得到的相对残差 % eta：对模型进行评价时计算得到的级比偏差 n = length(x0); % 数据的长度 x1=cumsum(x0); % 计算一次累加值 z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 计算紧邻均值生成数列（长度为n-1） % 将从第二项开始的x0当成y，z1当成x，来进行一元回归 y = kx +b y = x0(2:end); x = z1; % 下面的表达式就是第四讲拟合里面的哦~ 当是要注意，此时的样本数应该是n-1，少了一项哦 k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)); b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)); a = -k; %注意：k = -a哦 % 注意： -a就是发展系数, b就是灰作用量 disp('现在进行GM(1,1)预测的原始数据是: ') disp(mat2str(x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示 disp(strcat('最小二乘法拟合得到的发展系数为',num2str(-a),'，灰作用量是',num2str(b))) disp('***************分割线***************') x0_hat=zeros(n,1); x0_hat(1)=x0(1); % x0_hat向量用来存储对x0序列的拟合值，这里先进行初始化 for m = 1: n-1 x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m); end result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量 for i = 1: predict_num result(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); % 带入公式直接计算 end % 计算绝对残差和相对残差 absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end); % 从第二项开始计算绝对残差，因为第一项是相同的 relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); % 计算相对残差，注意分子要加绝对值，而且要使用点除 % 计算级比和级比偏差 class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ; % 计算级比 sigma(k) = x0(k)/x0(k-1) eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio)); % 计算级比偏差 end

2.新信息GM(1,1)模型

function [result] = new_gm11(x0, predict_num) % 函数作用：使用新信息的GM(1,1)模型对数据进行预测 % 输入变量 % x0：要预测的原始数据 % predict_num：向后预测的期数 % 输出变量 % result：预测值 result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量 for i = 1 : predict_num result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中 x0 = [x0; result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息 end end

3.新陈代谢GM(1,1)模型

function [result] = metabolism_gm11(x0, predict_num) % 函数作用：使用新陈代谢的GM(1,1)模型对数据进行预测 % 输入变量 % x0：要预测的原始数据 % predict_num：向后预测的期数 % 输出变量 % result：预测值 result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量 for i = 1 : predict_num result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中 x0 = [x0(2:end); result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息，并且删除了最开始的那个向量 end end

4.main函数部分

%% 输入原始数据并做出时间序列图 clear;clc year =[1995:1:2004]'; % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置） x0 = [174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285]'; %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置） % year = [2009:2015]; % 其实本程序写成了行向量也可以，因为我怕你们真的这么写了，所以在后面会有判断。 % x0 = [730, 679, 632, 599, 589, 532, 511]; % year = [2010:2017]'; % 该数据很特殊，可以通过准指数规律检验，但是预测效果却很差 % x0 = [1.321,0.387,0.651,0.985,1.235,0.987,0.854,1.021]'; % year = [2014:2017]'; % x0 = [2.874,3.278,3.337,3.390]'; % 画出原始数据的时间序列图 figure(1); % 因为我们的图形不止一个，因此要设置编号 plot(year,x0,'o-'); grid on; % 原式数据的时间序列图 set(gca,'xtick',year(1:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1 xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签 %% 因为我们要使用GM(1,1)模型，其适用于数据期数较短的非负时间序列 ERROR = 0; % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1 % 判断是否有负数元素 if sum(x0 0 % x01}.size. % net.inputs{1}.size % 这里要注意，我们要将指标变为列向量，然后再用sim函数预测 sim(net, new_X(1,:)') % 写一个循环，预测接下来的十个样本的辛烷值 predict_y = zeros(10,1); % 初始化predict_y for i = 1: 10 result = sim(net, new_X(i,:)'); predict_y(i) = result; end disp('预测值为：') disp(predict_y)

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