FMCW雷达测速和测距原理介绍 | 您所在的位置:网站首页 › 激光雷达测距范围是多少 › FMCW雷达测速和测距原理介绍 |
在与测距相关的应用中,雷达一般工作在FMCW模式,其原理是将经过调制的连续波信号以较高的载频发射出去,遇到被测目标时,将接收到的回波信号与当下发射的高频信号进行混频得到差频信号。对于线性调频来说,差频的频率即携带着目标的距离信息 雷达和测量目标相对静止当雷达和测量目标相对静止,回波信号和发射信号相比,在时间上延迟了
τ
\tau
τ,可表示为:
τ
=
2
R
c
\tau =\frac{2R}{c}
τ=c2R 其中,R为雷达与目标物体的距离,c为光速。 下图为发射信号与回波信号的简化模型图。其中实线部分为发射信号频率曲线
f
t
f_{t}
ft,虚线部分为回波信号频率曲线
f
r
f_{r}
fr,混频输出的差频信号频率
f
b
f_{b}
fb为发射信号和回波信号的频率差. 多普勒效应指出,波在波源向观察者接近时接收频率变高,而在波源远离观察者时接收频率变低。当观察者移动时也能得到同样的结论。同理,用雷达观测运动目标时也会存在多普勒效应:当目标接近雷达时,雷达的接收频率变高;当目标远离雷达时,雷达的接收频率会变低。 假设雷达和目标接近,在回波信号中包含着由于目标的运动带来的多普勒频移
f
d
f_{d}
fd信号。可以得出在三角波的上升沿和下降沿差频信号的频率可分别表示如下:
f
b
+
=
f
b
−
f
d
{{f}_{b+}}={{f}_{b}}-{{f}_{d}}
fb+=fb−fd
f
b
−
=
f
b
+
f
d
{{f}_{b-}}={{f}_{b}}+{{f}_{d}}
fb−=fb+fd 其中,
f
b
f_{b}
fb为雷达和目标物体是相对静止时的差频信号的频率,而
f
d
f_{d}
fd为目标运动带来的多普勒频移信号。根据多普勒原理,多普勒频移
f
d
f_{d}
fd可以表示为
f
d
=
2
f
0
v
c
{{f}_{d}}=\frac{2{{f}_{0}}v}{c}
fd=c2f0v 其中,
f
0
f_{0}
f0为发射信号中心频率。 对于同一时刻,在三角波的上升沿,回波信号的频率低于发射信号的频率。在三角波的下降沿,雷达回波信号的频率则会高于发射信号频率。所以,单个目标的差频信号会围绕着三角波的峰顶和峰谷处呈现对称形式。整个差频信号则是一个周期性信号,周期等于三角波的调制周期T。 设
x
(
t
)
x\left( t \right)
x(t)为差频时域信号,
s
(
t
)
s\left( t \right)
s(t)为三角波上升沿所对应的差频时域信号,则三角波下降沿所对应的差频时域信号为
s
(
T
−
t
)
s\left( T-t \right)
s(T−t)。对差频信号进行时域数学建模,即
x
(
t
)
=
{
s
(
t
)
,
t
∈
[
0
,
T
2
]
+
n
T
,
n
=
0
,
1
,
2...
s
(
T
−
t
)
,
t
∈
[
T
2
,
T
]
+
n
T
,
n
=
0
,
1
,
2...
x\left( t \right)=\left\{ \begin{aligned} & s\left( t \right),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t\in \left[ 0,\frac{T}{2} \right]+nT,n=0,1,2... \\ & s\left( T-t \right)\ ,\ \ t\ \in \left[ \frac{T}{2},T \right]\ +nT,n=0,1,2... \\ \end{aligned} \right.
x(t)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧s(t), t∈[0,2T]+nT,n=0,1,2...s(T−t) , t ∈[2T,T] +nT,n=0,1,2... 由于差频信号是周期信号,周期信号可以展开成傅里叶级数的形式
x
(
t
)
=
∑
k
=
-
∞
∞
A
k
e
j
k
Ω
T
t
x\left( t \right)=\sum\limits_{k=\text{-}\infty }^{\infty }{{{A}_{k}}}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t}}
x(t)=k=-∞∑∞AkejkΩTt 其中,
Ω
T
=
2
π
T
{{\Omega }_{T}}=\frac{2\pi }{T}
ΩT=T2π,
A
k
{{A}_{k}}
Ak为傅里叶级数的系数。 系数
A
k
{{A}_{k}}
Ak可以通过如下公式来求解
A
k
=
1
T
∫
0
T
x
(
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
=
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
+
1
T
∫
T
2
T
s
(
T
−
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
{{A}_{k}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt+\frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{T}{s\left( T-t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt
Ak=T1∫0Tx(t)e−jkΩTtdt=T1∫02Ts(t)e−jkΩTtdt+T1∫2TTs(T−t)e−jkΩTtdt 对上式的第二项进行变量替换
1
T
∫
T
2
T
s
(
T
−
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
=
t
′
=
T
−
t
−
1
T
e
−
j
k
Ω
T
T
∫
T
2
0
s
(
t
′
)
e
j
k
Ω
T
t
′
d
t
′
=
t
=
t
′
−
1
T
∫
T
2
0
s
(
t
)
e
j
k
Ω
T
t
d
t
=
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
j
k
Ω
T
t
d
t
\begin{aligned} & \frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{T}{s\left( T-t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt\overset{t'=T-t}{\mathop{=}}\,-\frac{1}{T}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}T}}\int_{\frac{T}{2}}^{0}{s\left( t' \right)}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t'}}dt' \\ & \overset{t=t'}{\mathop{=}}\,-\frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{0}{s\left( t \right)}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t}}dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t}}dt \\ \end{aligned}
T1∫2TTs(T−t)e−jkΩTtdt=t′=T−t−T1e−jkΩTT∫2T0s(t′)ejkΩTt′dt′=t=t′−T1∫2T0s(t)ejkΩTtdt=T1∫02Ts(t)ejkΩTtdt 则
A
k
=
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
+
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
j
k
Ω
T
t
d
t
=
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
+
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
−
j
(
−
k
Ω
T
)
t
d
t
\begin{aligned} & {{A}_{k}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t}}dt \\ & =\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{-j\left( -k{{\Omega }_{T}} \right)t}}dt \\ \end{aligned}
Ak=T1∫02Ts(t)e−jkΩTtdt+T1∫02Ts(t)ejkΩTtdt=T1∫02Ts(t)e−jkΩTtdt+T1∫02Ts(t)e−j(−kΩT)tdt 其中,第一项是信号
s
(
t
)
s\left( t \right)
s(t)被时间窗口函数
R
T
/
2
=
{
1
t
∈
[
0
,
T
2
]
0
t
∈
o
t
h
e
r
{{R}_{T/2}}=\left\{ \begin{aligned} & 1\ \ \ \ t\in \left[ 0,\frac{T}{2} \right] \\ & 0\ \ \ \ t\in other\\ \end{aligned} \right.
RT/2=⎩⎪⎨⎪⎧1 t∈[0,2T]0 t∈other,然后信号做傅里叶变换在
Ω
=
k
Ω
T
\Omega =k{{\Omega }_{T}}
Ω=kΩT处取值的结果。第二项则是在
Ω
=
−
k
Ω
T
\Omega =-k{{\Omega }_{T}}
Ω=−kΩT处取值的结果。 上式可以进一步表示为
A
k
=
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
−
j
k
Ω
T
t
d
t
+
1
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
e
j
k
Ω
T
t
d
t
=
2
T
∫
0
T
2
s
(
t
)
cos
(
k
Ω
T
t
)
d
t
\begin{aligned} & {{A}_{k}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{-jk{{\Omega }_{T}}t}}dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}{{e}^{jk{{\Omega }_{T}}t}}dt \\ & =\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{s\left( t \right)}\cos \left( k{{\Omega }_{T}}t \right)dt \\ \end{aligned}
Ak=T1∫02Ts(t)e−jkΩTtdt+T1∫02Ts(t)ejkΩTtdt=T2∫02Ts(t)cos(kΩTt)dt 对于单个检测目标,设差频信号为单一频率的信号,则上升沿所对应的差频时域信号可表示为:
s
(
t
)
=
cos
(
2
π
f
b
t
+
φ
)
=
cos
(
Ω
b
t
+
φ
)
s\left( t \right)=\cos \left( 2\pi {{f}_{b}}t+\varphi \right)=\cos \left( {{\Omega }_{b}}t+\varphi \right)
s(t)=cos(2πfbt+φ)=cos(Ωbt+φ) 其中,
φ
\varphi
φ是相位,
Ω
b
{{\Omega }_{b}}
Ωb为差频信号
f
b
f_{b}
fb所对应的模拟角频率。那么
A
k
=
2
T
∫
0
T
2
cos
(
k
Ω
T
t
)
cos
(
Ω
b
t
+
φ
)
d
t
=
1
T
∫
0
T
2
cos
[
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
t
+
φ
]
d
t
+
1
T
∫
0
T
2
cos
[
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
t
−
φ
]
d
t
=
1
T
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
[
sin
[
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
T
2
+
φ
]
−
sin
φ
]
+
1
T
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
[
sin
[
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
T
2
−
φ
]
+
sin
φ
]
\begin{aligned} & {{A}_{k}}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{\cos \left( k{{\Omega }_{T}}t \right)\cos \left( {{\Omega }_{b}}t+\varphi \right)}dt \\ & =\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{\cos \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)t+\varphi \right]}dt+\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}{\cos \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)t-\varphi \right]}dt \\ & \text{=}\frac{1}{T\left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)}\left[ \sin \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}+\varphi \right]-\sin \varphi \right] \\ & +\frac{1}{T\left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)}\left[ \sin \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}-\varphi \right]+\sin \varphi \right] \\ \end{aligned}
Ak=T2∫02Tcos(kΩTt)cos(Ωbt+φ)dt=T1∫02Tcos[(kΩT+Ωb)t+φ]dt+T1∫02Tcos[(kΩT−Ωb)t−φ]dt=T(kΩT+Ωb)1[sin[(kΩT+Ωb)2T+φ]−sinφ]+T(kΩT−Ωb)1[sin[(kΩT−Ωb)2T−φ]+sinφ] 不妨设
φ
=
0
\varphi \text{=}0
φ=0,则
A
k
=
1
2
sin
[
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
T
2
]
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
T
2
+
1
2
sin
[
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
T
2
]
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
T
2
=
1
2
sin
[
(
Ω
+
Ω
b
)
T
2
]
(
Ω
+
Ω
b
)
T
2
∣
Ω
=
k
Ω
T
+
1
2
sin
[
(
Ω
−
Ω
b
)
T
2
]
(
Ω
−
Ω
b
)
T
2
∣
Ω
=
k
Ω
T
\begin{aligned} & {{A}_{k}}=\frac{1}{2}\frac{\sin \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2} \right]}{\left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}}+\frac{1}{2}\frac{\sin \left[ \left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2} \right]}{\left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}} \\ & ={{\left. \frac{1}{2}\frac{\sin \left[ \left( \Omega +{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2} \right]}{\left( \Omega +{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}} \right|}_{\Omega =k{{\Omega }_{T}}}}+{{\left. \frac{1}{2}\frac{\sin \left[ \left( \Omega -{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2} \right]}{\left( \Omega -{{\Omega }_{b}} \right)\frac{T}{2}} \right|}_{\Omega =k{{\Omega }_{T}}}} \\ \end{aligned}
Ak=21(kΩT+Ωb)2Tsin[(kΩT+Ωb)2T]+21(kΩT−Ωb)2Tsin[(kΩT−Ωb)2T]=21(Ω+Ωb)2Tsin[(Ω+Ωb)2T]∣∣∣∣∣Ω=kΩT+21(Ω−Ωb)2Tsin[(Ω−Ωb)2T]∣∣∣∣∣Ω=kΩT 可以看出,系数
A
k
{{A}_{k}}
Ak呈现出辛格函数的包络形式。当
(
k
Ω
T
−
Ω
b
)
⋅
T
/
2
=
m
π
,
m
=
0
,
1
,
2...
\left( k{{\Omega }_{T}}-{{\Omega }_{b}} \right)\cdot T/2=m\pi ,m=0,1,2...
(kΩT−Ωb)⋅T/2=mπ,m=0,1,2...时,或者
(
k
Ω
T
+
Ω
b
)
⋅
T
/
2
=
m
π
,
m
=
0
,
1
,
2...
\left( k{{\Omega }_{T}}+{{\Omega }_{b}} \right)\cdot T/2=m\pi ,m=0,1,2...
(kΩT+Ωb)⋅T/2=mπ,m=0,1,2...时,
A
k
=
0
{{A}_{k}}=0
Ak=0。 可以解得
Ω
b
=
(
k
−
m
)
Ω
T
{{\Omega }_{b}}=\left( k-m \right){{\Omega }_{T}}
Ωb=(k−m)ΩT或
Ω
b
=
(
m
−
k
)
Ω
T
{{\Omega }_{b}}=\left( m-k \right){{\Omega }_{T}}
Ωb=(m−k)ΩT时,
A
k
=
0
{{A}_{k}}=0
Ak=0。当
Ω
b
>
>
Ω
T
{{\Omega }_{b}}>>{{\Omega }_{T}}
Ωb>>ΩT时候,
A
k
{{A}_{k}}
Ak的数值大小的分布如下图所示 当两个目标位于同一方位角,但与雷达的距离不同时,二者被雷达区分出来的最小距离称为距离分辨率。通常定义为:当较近目标回波脉冲的后沿(下降沿)与较远目标回波的前沿(上升沿)刚好重合时,作为可分辨的极限。此时两目标间的距离就是距离分辨率,常用 △ R \vartriangle R △R表示 Δ R = c T 4 B Δ f b \Delta R=\frac{cT}{4B}\Delta {{f}_{b}} ΔR=4BcTΔfb 其中, Δ f b \Delta {{f}_{b}} Δfb为差频分辨率。一般情况下,差频信号的周期应该小于三角波周期的一半,即 f b ≥ 2 T {{f}_{b}}\ge \frac{2}{T} fb≥T2 那么 Δ R ≥ c T 4 B ⋅ 2 T = c 2 B \Delta R\ge \frac{cT}{4B}\cdot \frac{2}{T}=\frac{c}{2B} ΔR≥4BcT⋅T2=2Bc 距离分辨率和系统的带宽B有关 雷达差频信号仿真给出雷达差频信号的仿真,参数设置如下: 参数名称参数值三角板周期1KHz采样频率1MHz中心频率20KHz调制带宽2KHz可以得到三角波信号如下: |
今日新闻 |
推荐新闻 |
专题文章 |
CopyRight 2018-2019 实验室设备网 版权所有 |