不同维欧氏空间之间的连续映射

来考虑一些有趣的问题，解法多收集于mse。

假设 f\colon \mathbb R^m\to\mathbb R^n 连续。什么时候 f 可能满？什么时候 f 可能单？最后，什么时候是双射？

可能存在这样不同胚的连续双射吗？

先加强条件来一个简单的命题试试手。考虑到可微是局部线性化，应该与线性映射有相同的结论。

事实的确如此。根据秩定理[1]可知

如图，每次将一条线段变为相同起点和终点的8条线段。这样的映射每段都是连续的，因此粘接起来也是连续映射。不难看出 \sup_{(x,y)\in[0,1]^2}\lVert f_n(x,y)-f_m(x,y)\rVert=\sum_{k=n+1}^m\frac{\sqrt 2}{3^k}=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\frac{1}{3^n}-\frac{1}{3^m}\right), \\ 所以连续函数列 \{f_n\} 一致收敛于连续映射 f ，并且由构造过程可知 f 是从 [0,1] 到 [0,1]^2 的连续满射。

归纳构造就可以得到 [0,1]\to[0,1]^n 的连续满射。

现在令 S_k\colon [2k,2k+1]\to[-k,k]^n 是连续满射， l_k\colon[2k+1,2k+2]\to\mathbb R^n 连续地连接 S_k(2k+1) 与 S_{k+1}(2k+2) ，于是 S\colon\mathbb R\to\mathbb R^n,\,x\mapsto\begin{cases} S_0(x),&x\le 0,\\ S_k(x),&x\in[2k,2k+1],\\ l_k(x),&x\in[2k+1,2k+2], \end{cases} \\ 就是一个连续满射。

因此，连续满射 f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n 总是存在的。

同样地，只需要考虑 m>n 的情况。

类似地，我们先看看 n=1 的情形。

当 n=1 时，我们容易给出两种方法证明这样的连续单射 f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R 不存在！

第一种方法来自古典的微积分。

（1）我们知道： \mathbb R 上的单射是连续映射当且仅当它严格单调。因此，固定 x^2_0,\cdots,x^m_0 ，那么 f 仅作为 x^1 的函数也是连续单射，进而像集为闭区间，必定包含至少一个有理数 r 。现在，注意到 (x^2,\cdots,x^m)\mapsto r 成为一个 \mathbb R^{m-1}\to\mathbb Q 的单射，矛盾。

第二种方法利用少许点集拓扑知识。

（2）考虑 f|_{S^{m-1}} ，则它的像集作为紧致连通集是一个非退化[2]闭区间 [a,b] 。由于 m\ge 2 ，在 S^{m-1} 上去掉任意一点后剩余的空间都与连通集 \mathbb R^{m-1} 同胚，但是 [a,b] 中只有两点 a,b 能在被去掉后仍使空间连通，矛盾。

又失去了 \mathbb R 作为一维空间的独特性质，我们不得不引入代数拓扑的工具。

一般地，在 m>n 时不存在连续单射 f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n 。

为此，将 \mathbb R^n 嵌入 \mathbb R^m 之后，根据 \textbf{Brouwer} 区域不变性定理[3]可知 f(\mathbb R^m)\times\{0\} 在 \mathbb R^m 中开，矛盾。

或者，取 S^{n-1}\subseteq\mathbb R^{m} ，根据广义的 \textbf{Jordan} 曲线定理[4]， \mathbb R^n\setminus f(S^{n-1}) 有两个连通分支。然而， \mathbb R^m\setminus S^{n-1} 却是连通的，矛盾。

上述问题已经足够有趣。但自然地还有一个问题： f 连续双射会如何？

当然，我们应该先看看同胚这一简单情形。

无论是直觉还是书本，都应已经在开头告诉你 \mathbb R^m 与 \mathbb R^n 同胚当且仅当 m=n 。但为什么？

\mathbb R^n 与 \mathbb R 不同胚是连通性的应用， \mathbb R^n 与 \mathbb R^2 不同胚是基本群的应用。

一般地， \mathbb R^n 与 \mathbb R^m 不同胚就是同调群的应用了。

为此，若 \mathbb R^m 与 \mathbb R^n 同胚，则 S^m 与 S^n 同胚，进而诱导相同的同调群。然而 H_k(S^n)=\begin{cases} \mathbb Z,&k=0,n,\\ 0,&\text{otherwise.} \end{cases} \\ 矛盾。

一般情况下，同胚中“逆映射连续的条件不能去”是重要的注意事项。然而，欧氏空间具有某种可逆性（reversibility）。这表现为

若 f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n 是连续双射，则 m=n 且 f 是同胚。

(1)证明 m=n 。我们已说明了连续单射不存在，因此 m>n 不可能。若 m