【问答】泰勒展开式中拉格朗日余项和泰勒余项的区别

拉格朗日余项和泰勒余项都是与函数在某点附近展开的泰勒级数相关的概念，但它们有一些区别。

拉格朗日余项：拉格朗日余项是泰勒展开的余项之一，也称为拉格朗日中值余项。在一个给定的区间内，对于一个可导的函数，泰勒级数可以近似表示该函数在该区间内的值。拉格朗日余项以拉格朗日中值定理为基础，它给出了泰勒展开式中函数值与级数部分之间的误差估计。形式化表示为： R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(c)​(x−a)n+1, 其中 c c c是区间 [ a , x ] [a, x] [a,x]内的一个点， n n n为展开的泰勒级数的阶数。

泰勒余项：泰勒余项是指用泰勒级数展开来逼近一个函数时，实际值与级数部分之间的差值。泰勒级数包含了函数在某点的导数值、二阶导数值等信息，从而可以更精确地描述函数在该点附近的性质。泰勒余项通常用于评估泰勒级数逼近的误差。形式化表示为： R n ( x ) = f ( x ) − ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k , R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, Rn​(x)=f(x)−k=0∑n​k!f(k)(a)​(x−a)k, 其中 n n n为展开的泰勒级数的阶数。

总的来说，拉格朗日余项与拉格朗日中值定理相关，给出了函数值与级数部分之间的误差估计，而泰勒余项则是用于泰勒级数展开逼近函数时的余项估计。 泰勒展开式是将一个函数在某点附近展开成无穷级数的方法。带有拉格朗日余项的泰勒展开式可以表示为：

如果函数f(x)在点a处具有n+1阶导数，则在点x处的泰勒展开式带有拉格朗日余项可以表示为： f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) , f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x), f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)​(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)​(x−a)n+Rn​(x), 其中拉格朗日余项为 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(c)​(x−a)n+1, 其中c在a与x之间。这个余项表示了泰勒展开式的近似误差。

一个常见的例子是对指数函数$ f(x) = e^x 在点 a = 0 处进行泰勒展开。指数函数的所有阶导数仍然是 在点a=0处进行泰勒展开。指数函数的所有阶导数仍然是 在点a=0处进行泰勒展开。指数函数的所有阶导数仍然是 e^x $，因此泰勒展开式变为： e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! + e c ( n + 1 ) ! x n + 1 , e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}, ex=1+x+2!x2​+3!x3​+⋯+n!xn​+(n+1)!ec​xn+1, 其中c在0与x之间。这个展开式即为指数函数在0处的泰勒展开式带有拉格朗日余项。 泰勒展开式带有泰勒余项可以表示为：

如果函数f(x)在点a处具有n+1阶导数，则在点x处的泰勒展开式带有泰勒余项可以表示为： f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) , f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x), f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)​(x−a)2+⋯+n!f(n)(a)​(x−a)n+Rn​(x), 其中泰勒余项为 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( z ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(z)​(x−a)n+1, 其中z在a与x之间。这个余项表示了泰勒展开式的近似误差，采用了泰勒定理来表示。

一个常见的例子是对三角函数sin(x)在点a=0处进行泰勒展开。sin(x)的奇数阶导数在不同点上值为正弦或余弦函数，而偶数阶导数在不同点上值为-sin(x)或-cos(x)函数。因此，sin(x)在0处的泰勒展开式为： sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 1 cos ⁡ ( z ) x 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! , \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + (-1)^{n+1}\cos(z) \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}, sin(x)=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​+⋯+(−1)n(2n+1)!x2n+1​+(−1)n+1cos(z)(2n+2)!x2n+2​, 其中z在0与x之间。这个展开式即为sin(x)在0处的泰勒展开式带有泰勒余项。