【高数】任意点的函数值，都可用同一点泰勒展开去估计吗？

一道题引发的疑问（摘自《复习全书》），为什么使用了麦克劳林展开式，但却代入x=1和-1的值？想来想去，自己并不能准确地解释泰勒展开。 于是需要思考以下问题：什么是展开点、被展开点？二者有什么关系？泰勒展开在这里起了什么作用？为什么要用它？

对于复杂函数，为便于研究，希望用一些简单函数来近似表达。而多项式函数，只需要对自变量进行有限次加、减、乘算术运算，就可求出函数值，所以用多项式近似表达函数。

这个说明我还是不太理解，什么是复杂函数？想了想，这里应该是相比较而言的，比如指数函数 e^x 的运算就比幂函数复杂（其实e就是个很复杂的计算，比如它就是来自于极限或是级数的，扯远了）。 什么叫做有限次算术运算？算术运算是指四则运算，也就是加减乘除，像开方、求对数等等，就是更为复杂的运算。有限次是出于研究效率考虑的，比如求对数也许会有很多位小数。 什么叫做近似表达？就是多项式函数和原来的函数，是有误差的。

泰勒展开，本质上是，用一个多项式函数，去估计或拟合一个复杂函数的过程。

带配亚诺余项的展开 x_0为展开点，x为被展开点，也就是说，用x0处的泰勒展开，去拟合其邻域范围内（x在x0附近）的某复杂函数的值。反之也可理解为，一个复杂函数 f(x) 的值，用其附近的展开点x0的多项式值去拟合。

余项更为精确的展开： 注意，这个 ξ 介于 x0 和 x 间，具体是 x0 < ξ < x 还是 x< ξ