泰勒级数详解

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。 先来感受一下： 定理： 设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有

f(x)=∑Nn=0fn(0)n!xn f ( x ) = ∑ n = 0 N f n ( 0 ) n ! x n 展开来就是 f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+fn(0)n!xn,f(0),f′′(0)2! f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n , f ( 0 ) , f ″ ( 0 ) 2 ! ,这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。 可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于 Y 轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。 那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？ 怎么才能让 x^2 和 x^9 的图像特性能结合起来呢？ 我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

ex e x 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 e 就是这么任性。 ex=1+x+12!x2+...+1n!xn+Rn(x) e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + . . . + 1 n ! x n + R n ( x ) 增加一个 14!x4 1 4 ! x 4 看看 可以看出， 1n!xn 1 n ! x n 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 ex e x 。并且 n 越大，起作用的区域距离0越远。

sin(x) 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。 sin(x)=x−13!x3+⋯+(−1)n(2n+1)!x(2n+1)+Rn(x) s i n ( x ) = x − 1 3 ! x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x ( 2 n + 1 ) + R n ( x ) 。 同样的，我们再增加一个 17!x7 1 7 ! x 7 试试。 可以看到 17!x7 1 7 ! x 7 在适当的位置，改变了 x−13!x3+15!x5 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 的弯曲方向，最终让 x−13!x3+15!x5−17!x7 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 更好的逼近了 sin(x) s i n ( x ) 。

拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足，在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，那么至少有一点 θ(a