微积分：2.2泰勒公式函数极值定积分

这节课主要介绍了泰勒公式，函数的凹凸性，函数的极值，不定积分，定积分等知识点。 掌握目标： 1、了解泰勒公式 2、了解函数的凹凸性 3、掌握函数的极值，以及极值的充要条件 4、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式

泰勒（Taylor）中值定理1：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处具有n阶导数，那么存在 x 0 x_0 x0​的一个邻域，对于该邻域内的任一 x x x，有 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x) 其中： R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) R_n(x)=o((x-x_0)^n) Rn​(x)=o((x−x0​)n) 说人话：这个定理就是任意一个函数 f ( x ) f(x) f(x)，都可以在 x 0 x_0 x0​展开，写成一个多项式的模式，最后一项就是误差 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)，是x到 x 0 x_0 x0​的高阶无穷小（佩亚诺余项）。 泰勒（Taylor）中值定理2：如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​的某个邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0​)内具有(n+1)阶导数，那么对任一 x ∈ U ( x 0 ) x\in U(x_0) x∈U(x0​)，有 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x) 其中： R n ( x ) = f n + 1 ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} Rn​(x)=(n+1)!fn+1(ξ)​(x−x0​)n+1 ξ \xi ξ是 x 0 x_0 x0​与 x x x之间的某个值，这项也叫：拉格朗日余项 当×0=0时，称为麦克劳林展开 例子（略）

定义：设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上连续，如果对 I I I上任意两点 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​恒有 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​ 那么称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）. 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理： 定理2：设 f ( x ) f(x) f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在(a,b)内 f n ( x ) > 0 f^n(x)>0 fn(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （2）若在(a,b)内 f n ( x ) < 0 f^n(x)0，对公式(5)判断：整体大于0，即： f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) > 0 f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)>0 f(x0​+h)+f(x0​−h)−2f(x0​)>0 把 x 1 = x 0 − h x_1=x_0-h x1​=x0​−h， x 2 = x 0 + h x_2=x_0+h x2​=x0​+h， x 1 + x 2 2 = x 0 \frac{x_1+x_2}{2}=x_0 2x1​+x2​​=x0​带回去 f ( x 2 ) + f ( x 1 ) > 2 f ( x 1 + x 2 2 ) f(x_2)+f(x_1)>2f(\frac{x_1+x_2}{2}) f(x2​)+f(x1​)>2f(2x1​+x2​​) 证明完毕 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)0 f′(x)>0，而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in (x_0,x_0+\delta) x∈(x0​,x0​+δ)时， f ′ ( x ) < 0 f'(x)0 f′(x)>0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处取得极小值； （3）若 x ∈ U o ( x 0 , δ ) x\in \overset{o}{U}(x_0,\delta) x∈Uo(x0​,δ)时， f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的符号保持不变，则 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处没有极值。

定理3（第二充分条件）：设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处具有二阶导数且 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f′(x0​)=0， f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f''(x_0)\neq0 f′′(x0​)​=0，则 （1）当 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0)0 f′′(x0​)>0时，函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​处取得极小值. 这个定理3是根据函数的凹凸性来进行判断了，也可以用泰勒展开式来进行判断。

定义1：如果在区间 I I I上，可导函数 F ( x ) F(x) F(x)的导函数为 f ( x ) f(x) f(x)，即对任一 x ∈ I x\in I x∈I，都有 F ′ ( x ) = f ( x ) 或 d F ( x ) = f ( x ) d x F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F（x）就称为 f ( x ) （ 或 f ( x ) d x ） f(x)（或f(x)dx） f(x)（或f(x)dx）在区间 I I I上的一个原函数 定义2：在区间 I I I上，函数 f ( x ) f(x) f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f ( x ) f(x) f(x)（或 f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx）在区间 I I I上的不定积分，记作 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx 其中记号 ∫ \int ∫称为积分号， f ( x ) f(x) f(x)称为被积函数， f ( x ) d x f(x)dx f(x)dx称为被积表达式， x x x称为积分变量。 由此定义及前面的说明可知，如果 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上的一个原函数，那么 F ( x ) + C F(x)+C F(x)+C就是 f ( x ) f(x) f(x)的不定积分，即 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C 性质1：设函数 f ( x ) f(x) f(x)及 g ( x ) g(x) g(x)的原函数存在，则： ∫ [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x \int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 性质2：设函数 f ( x ) f(x) f(x)的原函数存在，k为非零常数，则 ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \int kf(x)dx=k\int f(x)dx ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

定理1:设 f ( u ) f(u) f(u)具有原函数， u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)可导，则有换元公式 ∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = [ ∫ f ( u ) d u ] u = φ ( x ) \int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\left [\int f(u)du\right]_{u=\varphi(x)} ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)​ 例子：求 ∫ 2 c o s 2 x d x \int 2cos2xdx ∫2cos2xdx ∫ 2 c o s 2 x d x = ∫ c o s 2 x d 2 x \int 2cos2xdx=\int cos2xd2x ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x 令 u = 2 x u=2x u=2x ∫ c o s 2 x d 2 x = ∫ c o s u d u = s i n u + C \int cos2xd2x=\int cosudu=sinu+C ∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C 带回 u = 2 x u=2x u=2x ∫ 2 c o s 2 x d x = s i n 2 x + C \int 2cos2xdx=sin2x+C ∫2cos2xdx=sin2x+C

定理2：设 x = ψ ( t ) x=\psi(t) x=ψ(t)是单调的可导函数，并且 ψ ′ ( t ) ≠ 0. \psi'(t)\neq0. ψ′(t)​=0.又设 f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) f[\psi(t)]\psi'(t) f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式 ∫ f ( x ) d x = [ ∫ f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t ] t = φ − 1 ( x ) \int f(x)dx=\left [\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt\right]_{t=φ^{-1}(x)} ∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=φ−1(x)​ 其中 φ − 1 ( x ) φ^{-1}(x) φ−1(x)是 x = ψ ( t ) x=\psi(t) x=ψ(t)的反函数.

∫ u d v = u v − ∫ v d u \int udv=uv-\int vdu ∫udv=uv−∫vdu 例子：求 ∫ x c o s x d x \int xcosxdx ∫xcosxdx ∫ x c o s x d x = ∫ x d s i n x = x s i n x − ∫ s i n x d x = x s i n x + c o s x + C \int xcosxdx=\int x dsinx=xsinx-\int sinxdx=xsinx+cosx+C ∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

定积分的意义：曲线的面积 在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … … < x n − 1 < x n = b a=x_0