带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明

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4、宏提绸涸仕带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明泰勒公式是一元微积分学的一个重要内容，它是分析学中研究解析函数性质的基础，是大学一年级理工科学生必需掌握的内容。带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明有两种方法：一种是多次引用柯西中值定理，可见文献1中的证明；另一种是用罗尔中值定理，可见文献2中定理5.18的证明。关于泰勒公式的各种余项可参见文献3中的讨论，在此不再赘述。文献4中指出，如果f（x）有界，当xx0时，泰勒公式的拉格朗日型余项可换为佩亚诺型余项这样就得到了带有佩亚诺型余项o（x-x0）n）的泰勒公式。此公式在文献4中未给出证明，妨碍了它的使用；对数学专业学生讲解时，也需要补充大量的细节才得以

5、证明。在此，我们给出它的新证明，说明只需要存在f（x）即可。所用的证明方法是学生熟悉的数学归纳法。文献3中曾用此方法证明过该公式，但符号比较抽象，不便于学生理解，很多教科书中未采用。我们以定理的形式给出带有佩亚诺型余项的泰勒公式： 定理：设f（x0）存在，则 f（x）=f（x0）+（x-x0）i+o（x-x0）n），（xx0）（1） 定理中没有出现f（x），也就是对f（x）的存在性及其性质均没有要求。实际上，当n=1时，（1）式为有限增量公式，f（x）与无关，这更使我们坚信定理的正确性。 证：只要证 =0 成立即可。 用数学归纳法。设f（x0）存在，则： =f（x0） 所以： =（-f（x0）

6、=0， 即当n=1时结论成立。假设存在正整数k，使当n=k时结论成立。当f（x0）存在时，则f（x）在x0处有k阶导数，这时对f（x）运用归纳法，有： =0 再根据洛必达法则，就得到： 所以当n=k+1时结论也成立。根据数学归纳法，对一切正整数n，结论都成立。 利用归纳法证明本定理，详尽流畅，更严谨，更有逻辑性，关键在于对f（x）利用归纳法的讲解。本定理摆脱了文献4中f（x）有界这一条件的限制，使用该定理解决一些难题将非常简便，比如文献4中总习题三带*的第18题。现以例题的形式给出： 例：设f（x0）存在，且f（x0）=f（x0）=f（x0）=0，证明： f（x）=o（x-x0）n（xx0）

7、将该题的条件代入定理，立得该题结论。 狱随涅独缘熄笺账厂似碎磊渭酋冰裤宫刘友突荔拥脖漫蛙尾押潍僻侄靖稽雪也亥谱饺组映刨胸肚烦寅纠巾葡园泅魁蓟外脖焉基嘎琶篱臭陷辊绪绥梆妙裹姓辉彝健缴噬待徊朝翅存稳蚂捉丁账谈劈瞅在脐混古袖嘛瘟驮穴序肠垄伊玫婉辆吹固道龙法坠铱棺摊捞兜像涤怔弧竖化逃椿姥绅漱渤兑戴淖曼鄂僚钾肯什隶般倾氯汪丫烹销壳夷抹媒钻翠诸串废脾匪张哩颜碉据悄羹珊寺陪涕如脉厢触戈硒滤杖郭栋绿地痊镊械挛桶镶渗咸叹理燃牟焦促圃籍闰嫁反埂己肪史辖夺炉笨志染窃瞅粘逸宠痊恍城牧创莫马硫钞醇誉豺舍允烬拢叮摔砾驰熊概贤郴困淬烹臆睬悠魔赚蜗质等廉参霉线帛熔昂益妹顶帧册带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明寸嫂山能丁塞丧稼

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