Bolzano

Bolzano-Weierstrass 定理（波尔查诺-威尔斯特拉斯定理）又称聚点定理、列紧性定理，是一个实分析和拓扑中的定理，在实数理论中作为完备性等价定理之一。

在 Euclid 空间中，任意有界闭集中的无限集合都有一个极限点（即聚点），或一个有界闭集中的任意序列必有一子序列在其集合中收敛。

在实数集上，它表述为一个有界的无穷实数列必有收敛子列。如果将实数集同构到一条直线上，还可表述为直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。

证设 S {\displaystyle S} 是一个有上界数集, 则 ∃ b ∈ R {\displaystyle \exists b \in \R} 使得 ∀ x ∈ S {\displaystyle \forall x \in S} 有 x [ a , b ] ; {\displaystyle \left[ a_{1}, b_{1} \right] \subset [a, b];} (2) 将 [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle \left[a_1, b_1\right]} 等分为两个子区间, 则至少有一个具有性质 P {\displaystyle P} , 不妨记该区间为 [ a 2 , b 2 ] {\displaystyle \left[ a_{2}, b_{2} \right]} ,则 [ a 2 , b 2 ] ⊂ [ a 1 , b 1 ] ; {\displaystyle \left[ a_{2}, b_{2} \right] \subset \left[ a_{1}, b_{1} \right];} (n) 将 [ a n − 1 , b n − 1 ] {\displaystyle \left[ a_{n-1}, b_{n-1} \right]} 等分为两个子区间, 则至少有一个具有性质 P {\displaystyle P} , 不妨记该区间为 [ a n , b n ] {\displaystyle \left[a_n, b_n\right]} , 则 [ a n , b n ] ⊂ [ a n − 1 , b n − 1 ] . {\displaystyle \left[ a_{n}, b_{n} \right] \subset \left[ a_{n-1}, b_{n-1} \right].}

由此可得一个区间套 { [ a n , b n ] } {\displaystyle \left\{ \left[ a_{n}, b_{n} \right] \right\}} 且满足 b n − a n = b − a 2 n → 0 ( 1 ) . {\displaystyle b_{n}-a_{n} = \dfrac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 \quad (1).} 显然 { b n } ⊂ [ a , b ] {\displaystyle \left\{ b_{n} \right\} \subset [a, b]} 且单调递减有下界。我们证明 ∃ ξ ∈ R , b n → ξ , ( n → ∞ ) {\displaystyle \exists \xi \in R, b_{n} \rightarrow \xi, (n \rightarrow \infty)} 。事实上, 不妨设 { b n } {\displaystyle \left\{ b_n \right\} } 有无穷个数，由聚点定理知 { b n } {\displaystyle \left\{ b_n \right\} } 有聚点 ξ {\displaystyle \xi} 。 因此 ∀ ε > 0 , ∃ N > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists N > 0} 使得 b N ∈ U ( ξ , ε ) {\displaystyle b_{N} \in U(\xi, \varepsilon)} 且 b N > ξ {\displaystyle b_{N} > \xi} 。由于 { b n } {\displaystyle \left\{ b_n \right\} } 单调递减, 则易证 ∀ n > N {\displaystyle \forall n > N} 有 b n ∈ U ( ξ , ε ) . {\displaystyle b_{n} \in U(\xi, \varepsilon).} 由于 b n {\displaystyle b_n} 都为 S {\displaystyle S} 的上界, ξ ∈ U ( ξ , ε ) {\displaystyle \xi \in U(\xi, \varepsilon)} 所以 ξ {\displaystyle \xi} 也为 S {\displaystyle S} 的上界。由 (1) 易证 a n → ξ , ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n} \rightarrow \xi, (n \rightarrow \infty)} 。 故 ∀ ε > 0 , ∃ N 1 > 0 , ∀ n > N 1 {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N_{1} > 0, \forall n > N_{1}} 有 a n ∈ U ( ξ , ε ) {\displaystyle a_{n} \in U(\xi, \varepsilon)} 。 从而可知, ∀ n > N + N 1 , ∃ x ∈ S , x ∈ [ a n , b n ] ⊂ U ( ξ , ε ) {\displaystyle \forall n > N + N_{1}, \exists x \in S, \quad x \in \left[ a_{n}, b_{n} \right] \subset U(\xi, \varepsilon)} 。 即 ξ − ε {\displaystyle \xi - \varepsilon < x \leqslant \xi} 故 ξ {\displaystyle \xi} 为 S {\displaystyle S} 的上确界。

不妨设 { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} 是单调有上界无穷数列, 即 ∃ a , b ∈ R {\displaystyle \exists a, b \in R} , 使得 { x n } ⊂ [ a , b ] {\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset [a, b]} 。故由聚点定理可知 ∃ ξ ∈ R , ∋ ξ {\displaystyle \exists \xi \in R, \ni \xi} 为 { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} 的聚点, 即 ∀ ε > 0 , U ( ξ , ε ) {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, U(\xi, \varepsilon)} 含有 { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} 中的无限多项。由单调性易得知 U ( ξ , ε ) {\displaystyle U(\xi, \varepsilon)} 外最多有 { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} 中的有限项, 因此由极限的一种等价定义得:

即证：若 { [ a n , b n ] } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ [a_n, b_n] \}_{n=1}^\infty} 是一闭区间套，则存在唯一 ζ {\displaystyle \zeta} 属于所有的闭区间 { [ a n , b n ] } n = 1 ∞ . {\displaystyle \{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty.}

证：存在性：设 S = { a n } ∪ { b n } {\displaystyle S = \left\{ a_n \right\} \cup \{ b_n\}} ，则 S {\displaystyle S} 是有界无限点集。由聚点定理得数集 S {\displaystyle S} 有聚点 ζ {\displaystyle \zeta} 。若存在一个 a n , s . t . b n > a N > ζ ( n ∈ N + {\displaystyle a_n, s.t. b_n > a_N > \zeta \quad(n \in \N^+} . 再取 ε = 1 2 ( a N − ζ ) {\displaystyle \varepsilon = \dfrac{1}{2} (a_N - \zeta)} , 由 { a n } {\displaystyle \{ a_n \}} 的单调性, 当 n > N {\displaystyle n > N} 时, a n > a N > ζ + ε {\displaystyle a_n > a_N > \zeta + \varepsilon} 这样, ( ζ − ε , ζ + ε ) {\displaystyle (\zeta - \varepsilon, \zeta + \varepsilon)} 内至多有 S {\displaystyle S} 中的有限个点，这就与 ζ {\displaystyle \zeta} 是聚点矛盾，于是得到 ζ ⩾ a n {\displaystyle \zeta \geqslant a_n} ，同理有 ζ ⩽ b n {\displaystyle \zeta \leqslant b_n} ，进而得 ζ ∈ ⋂ n = 1 ∞ [ a n , b n ] . {\displaystyle \zeta \in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n].}

唯一性：设数 ζ ′ {\displaystyle \zeta'} 也满足 a n ⩽ ζ ′ ⩽ b n , ∀ n ∈ N + . {\displaystyle a_n \leqslant \zeta' \leqslant b_n, \forall n \in \N^+.} 由于 a n ⩽ ζ ⩽ b n , ∀ n ∈ N + . {\displaystyle a_n \leqslant \zeta \leqslant b_n, \forall n \in \N^+.} 因此 | ζ ′ − ζ | ⩽ b n − a n , ∀ n ∈ N + . {\displaystyle |\zeta' - \zeta| \leqslant b_n - a_n, \forall n \in \N^+.} 由区间套的条件，得 | ζ ′ − ζ | ⩽ lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0. {\displaystyle |\zeta' - \zeta| \leqslant \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0.} 唯一性得证。

即证明：闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a, b]} 的任意开覆盖都有有限个子覆盖 H {\displaystyle \mathrm{H}} 。

证

现在我们取 N = [ b − a δ 1 ] + 1 , x i = a + 2 i + 1 2 n ( b − a ) , ∀ i ∈ N + {\displaystyle N = \left[ \dfrac{b-a}{\delta_1} \right] + 1, x_i = a + \dfrac{2i+1}{2n}(b-a), \forall i \in \mathbb{N}^+} 设 ( x i − δ , x i + δ ) ⊂ ( a i , b i ) ∈ H , i ∈ N + {\displaystyle ( x_i - \delta, x_i + \delta) \subset \left( a_i, b_i \right) \in \mathrm{H}, i \in \mathbb{N}^+} , 则 ⋃ i = 0 n − 1 ( a i , b i ) ⊃ ⋃ i = 0 n − 1 ( x i − δ , x 1 + δ ) ⊃ [ a , b ] {\displaystyle \bigcup_{i=0}^{n-1} \left( a_i, b_i \right) \supset \bigcup_{i=0}^{n-1} \left( x_i - \delta, x_1 + \delta \right) \supset \left[ a, b \right]} , 因此所需结论成立.

设 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 是 Cauchy 列, 则 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 是有界的, 若 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 中只有有限多个项不相同, 那么必有一项譬如 x n 0 {\displaystyle x_{n_0}} 出现无限多次, 这时就得到 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 的一个收敛子列 { x n k } {\displaystyle \{x_{n_k}\}} . 又因为 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 是 Cauchy 列, 故对 ε > 0 , ∃ N ∈ N + {\displaystyle \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}^+} , 当 n > m > N {\displaystyle n > m > N} 时 | x n − x m | x n k | ∞ {\displaystyle k \rightarrow \infty} , 得 | x n − x n 0 | ⩽ ε {\displaystyle \left|x_n - x_{n_0} \right| \leqslant \varepsilon} 即 lim n → ∞ x n = x n 0 . {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_{n_0}.} 若 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 中有无限多项互不相同, 则数集 S = { x n } {\displaystyle S = \{ x_n \}} 是一有界无限点集, 根据聚点定理, S {\displaystyle S} 至少有一聚点 ζ {\displaystyle \zeta} , 由聚点的定义, ∀ k ∈ N + {\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}^+} , 在 U ( ζ , 1 k ) {\displaystyle U\left(\zeta, \dfrac{1}{k}\right)} 中, 必含有 { x n } {\displaystyle \{ x_n \}} 的无限多项, 从而在 U ( ζ , 1 k ) {\displaystyle U\left(\zeta, \dfrac{1}{k}\right)} 中可选出一项 x n k ≠ ζ {\displaystyle x_{n_k} \neq \zeta} , 由于 k {\displaystyle k} 的任意性, 所以 lim n → ∞ x n k = ζ . {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n_k}=\zeta.} 同上可知, lim n → ∞ x n = ζ . {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \zeta.}