数学分析

w = F ( x , y , z ) w = F(x,y,z) w=F(x,y,z)是一个三元函数， w = 0 w = 0 w=0时表示一个等高面(曲面)，对其两边全微分得到 ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y + ∂ F ∂ z d z = 0 \dfrac{\partial F}{\partial x}dx+\dfrac{\partial F}{\partial y}dy+\dfrac{\partial F}{\partial z}dz = 0 ∂x∂F​dx+∂y∂F​dy+∂z∂F​dz=0进一步可以写成 ( ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = 0 (\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z})·(dx,dy,dz) = 0 (∂x∂F​,∂y∂F​,∂z∂F​)⋅(dx,dy,dz)=0两个向量相互正交，由于 ( d x , d y , d z ) (dx,dy,dz) (dx,dy,dz)是曲面的切向量，那么 ( ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ) (\dfrac{\partial F}{\partial x},\dfrac{\partial F}{\partial y},\dfrac{\partial F}{\partial z}) (∂x∂F​,∂y∂F​,∂z∂F​)一定是曲面法向量，同时它还是 w = F ( x , y , z ) w = F(x,y,z) w=F(x,y,z)的梯度。

值得注意的是，梯度是一个多元函数变化最快的方向(或者说梯度是方向导数取最大时的方向)，在三元函数中，梯度grad w w w指向的是 w w w变化最快的方向，而非 z z z变化最快的方向。

很多初学者对梯度这一概念理解不到位，会将这里的梯度误以为指向 z z z变化最大的方向，画出一个曲面，同时画出它的法向量，发现法向量指向并不是 z z z变化的方向。 这是因为，梯度是对于函数来说的，三元函数即三个自变量，其函数值是 w w w,因而grad w w w指向的是 w w w变化最快的方向。 But!如果是一个二元函数 z = F ( x , y ) z = F(x,y) z=F(x,y),其梯度grad z z z指向的就是 z z z变化最快的方向

由以上分析，我们应该从法向量与梯度的关系中更直观的认识梯度： 二元函数的梯度是曲线(等高线)的法向量，法向量是二维的。 三元函数的梯度是曲面(登高面)的法向量，法向量是三维的。