高数

可以和这一篇配合食用。

高数 | 等价无穷小量的替换及加减替换条件_西皮呦的博客-CSDN博客_等价无穷小在加减中替换的条件?

可以结合网上等价无穷小是泰勒的粗糙版和 四则运算法中乘法的两个数的极限必须存在 来跟非零因子带入 对比来理解。

夹逼定理（数列和函数极限都适用）、单调有界数列必收敛

对于第二条定理，当运用于函数时需要满足：趋近于无穷时，函数连续且处处有定义

例如：

若f(x)从某一X开始，当x>X时，在区间(x,+∞)满足f(x)连续且单调有界，则\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)存在。

注意哦，在某一区间连续的话那在该区间可一定是有定义的。

（-∞,X）的情况同理。

可以进一步思考，函数f(x)在某一点的极限只与该点领域内的函数值有关，与该点的函数值和离该点较远的函数值无关。

        □≠0           

需要说明的是，两个重要极限是通过两个极限存在准则推出来的。

首先 ，上方法。

这就是“经典的错误，标准的零分”

 相当于无穷个无穷小的乘积！！所以不能用！！

这里再插一嘴：在求解类似于arctan、幂指数趋近于无穷时的极限时，要注意分别讨论＋∞和－∞

如果有小伙伴说，那咱们让x趋近于＋∞可以吗？

答案是：也不行！

如果x趋近于正无穷，那么乘积项的第二项极限不存在

同理，如果x趋近于负无穷，那么乘积项的第一项极限不存在

因此，就算的单边极限的情况下，求解这个极限也不可以使用重要极限。

常见错误总结：

所以在遇到求解一个幂指数函数的极限时，化为底为常数e的指数函数，此时e对应于上式的f(x)，满足大于0的条件，我们再只需求对应g(x)部分的极限即可。 

例题

如果不是不定式,就能代。极限为∞时,仍然是属于定式。如果是不定式,就不能代。

中学概念的根深蒂固,会带来不利,例如：任何数的0次幂,等于1；1的任何次幂,都等于1。

在极限中这些概念要特别小心！极限中的0、1,不同于初等数学的0、1。

极限理论中的0、1,仅仅只是比喻而已。

只有整体乘项(整体除项)可以用等价替换,和非零常数极限先求。

注：未定式是高等数学中求极限中常见的问题，它不能直接代入计算。一共有7种。

分别是0比0，∞比∞，0*∞，1^∞，0^0,∞^0和∞-∞型。

未定式是指如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim [f(x)/g(x)] (x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，也称未定型。未定式通常用洛必达法则求解

那为什么对于红色的部分 不能愉快的直接令X=a呢？

全文见【高等数学】两个重要的极限 - 知乎

有关“重要极限”的经典例题_m0_53356029的博客-CSDN博客_两个重要极限典型错误

什么情况下求极限可以直接带入？ - 知乎