泰勒公式的介绍、应用及常见题型

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泰勒公式的介绍、应用及常见题型

2024-07-12 10:40| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

2.两种类型的余项

3.麦克劳林公式

二、泰勒公式常见题型

1.用泰勒公式展开函数

2.用泰勒公式求极限

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

4.用泰勒公式证明等式和不等式

一、简介 1.泰勒公式及其证明过程泰勒中值定理1：若f(x)在含有 $x_{0}$ 的某个邻域内具有n阶倒数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于 $x_{0}$ )则有： $f(x)=f(x_{0})+\frac{f(x_{0}){}'}{1!}\cdot (x-x_{0})+\frac{f(x_{0}){}''}{2!}\cdot (x-x_{0})^{2}+......+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\cdot (x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$

其中 $R_{n}(x)$ 为余项,根据需要选择使用佩亚诺型还是拉格朗日型，具体见后文（两种类型的余项）

证明：

$\because \Delta y\approx f(x){}'\Delta x,\therefore f(x)-f(x_{0})=f(x_{0}){}'(x-x_{0})$

$\therefore f(x)\approx f(x_{0})+f(x_{0}){}'(x-x_{0})$ 一次表达式

令 $f(x)=p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+......+a_{n}(x-x_{0})^{n}$

当 $x=x_{0},a_{0}=f(x_{0})$ ;

$a_{1}=f(x_{0}){}'$ , $2!a_{2}=f(x_{0}){}''$ …… $n!a_{n}=f^{(n)}(x_{0})$ 先求导再代入 $x=x_{0}$

则 $a_{1}=f(x_{0})$ , $a_{2}=\frac{f(x_{0}){}''}{2!}$ …… $a_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$ 即证。

2.两种类型的余项

1.佩亚诺型余项 $R_{n}=\circ ((x-x_{0})^{n})$ 取前一项的自变量 $(x-x_{0})^{n}$

若你所写的泰勒公式只有三项，则 $R_{n}=(x-x_{0})^{2}$ ,取四项则 $R_{n}=(x-x_{0})^{3}$ ，其他同理

2.拉格朗日型余项

泰勒中值定理2：若f(x)在含有 $x_{0}$ 的某个邻域内具有n+1阶导数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于 $x_{0}$ ),则有 $R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$ ,此式子即为拉格朗日型余项

$\because n=0$ 时 $f(x)=f{}'(\xi )(x-x_{0})+f(x_{0})$ 即 $f{}'(\xi )=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 为拉格朗日中值定理

3.麦克劳林公式

当泰勒公式中 $x_{0}=0$ 时即为麦克劳林公式： $f(x)=f(0)+\frac{f(0){}'}{1!}x+\frac{f(0){}''}{2!}x^{2}+......+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ $(0\theta 1)$

注意：麦克劳林公式的使用条件：因为x趋近于 $x_{0}$ ，而此时 $x_{0}=0$ ，所以x也趋近于零

二、泰勒公式常见题型( $x_{0}$ 的选取很关键) 1.用泰勒公式展开函数方法：对原函数多求几次导，找到规律，写出有规律的式子例子：求函数f(x)=lnx按(x-2)展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

解：令 $x_{0}=2$ , $f(2)=ln^{2}$ 对f(x)多次求导，又对 $ln^{x}$ 不断求导找出规律

$(ln^{x}){}'=\frac{1}{x}$ $(ln^{x}){}''=-\frac{1}{x^{2}}$ $(ln^{x}){}'''=\frac{2!}{x^{3}}$ ……

$\therefore f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}$ ,将x=2带入式子，然后写出泰勒展开式

$ln^{x}=f(2)+\frac{f(2){}'}{1!}\cdot (x-2)+\frac{f(2){}''}{2!}\cdot (x-2)^{2}+......+\frac{f^{(n)}(2)}{n!}\cdot (x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

$=ln^{2}+\frac{1}{2^{1}}(x-2)-\frac{1}{2!\cdot 2^{2}}(x-2)^{2}+\frac{1}{3!\cdot 2^{3}}(x-2)^{3}......+\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

$=ln^{2}+\frac{1}{2^{1}}(x-2)-\frac{1}{2!\cdot 2^{2}}(x-2)^{2}+\frac{1}{3!\cdot 2^{3}}(x-2)^{3}......+\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 2^{n}}(x-2)^{n}+\circ ((x-2)^{n})$

2.用泰勒公式求极限方法：1.先观察式子中有无可替换的等价无穷小

2.再观察分子分母中哪些式子需要用泰勒展开

3.展开时泰勒公式中 $x^{n}$ 与原式中本身次方最大的 $x^{m}$ 的关系为n

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