给定四边形四条边的长度，求面积最大最小值

这是正在上高中的表弟问的一道题，觉得很有意思（但对于高一初学三角函数的学生来说可能难度太大了），这里记录下来一些想法，轻喷。

已知凸四边形ABCD的四条边长分别为a,b,c,d，求四边形面积的最大值和最小值。

面积表示为 S = 1 2 a b sin ⁡ B + 1 2 c d sin ⁡ D S=\frac{1}{2} a b \sin B+\frac{1}{2} c d \sin D S=21​absinB+21​cdsinD

即 2 S = a b sin ⁡ B + c d sin ⁡ D (1) 2S=a b \sin B+c d \sin D \tag{1} 2S=absinB+cdsinD(1)

另一方面，由余弦定理可得 x 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ B x^2=a^2+b^2-2ab\cos B x2=a2+b2−2abcosB

x 2 = c 2 + d 2 − 2 c d cos ⁡ D x^2=c^2+d^2-2cd\cos D x2=c2+d2−2cdcosD

联立上面两式消去x可得 1 2 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) = a b cos ⁡ B − c d cos ⁡ D (2) \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd\cos D \tag{2} 21​(a2+b2−c2−d2)=abcosB−cdcosD(2)

联立(1)(2)两式，两边分别平方后相加，整理得到： 4 S 2 = − 1 4 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 + ( a 2 b 2 + c 2 d 2 ) − 2 a b c d cos ⁡ ( B + D ) (3) 4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3} 4S2=−41​(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos(B+D)(3)

由于 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d 都是定值，这里唯一的可变量是 cos ⁡ ( B + D ) \cos{(B+D)} cos(B+D)，当 cos ⁡ ( B + D ) = − 1 \cos{(B+D)}=-1 cos(B+D)=−1 时， S S S 取最大值，此时 B + D = 180 ° B+D=180\degree B+D=180°, 4 S m a x 2 = − 1 4 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 + ( a 2 b 2 + c 2 d 2 ) + 2 a b c d (4) 4S_{max}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)+2abcd \tag{4} 4Smax2​=−41​(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)+2abcd(4)

继续化简可得 S m a x = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) (5) S_{max}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \tag{5} Smax​=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d) ​(5)

其中 p = 1 2 ( a + b + c + d ) p=\frac{1}{2}(a+b+c+d) p=21​(a+b+c+d)

对于凸四边形ABCD来说，也有 A + C = 180 ° A+C=180\degree A+C=180°。这表明此时四边形ABCD是圆内接四边形。事实上，最大的四边形面积总是在凸四边形的情况下取到，如果有一个凹四边形的面积被认为是最大，那么将大于180度的那个内角向外翻折，得到一个凸四边形的面积一定比原来的凹四边形更大（如下图所示）。

  如果允许四边形ABCD是凹四边形，那么根据上面求最大值的过程（公式(3)等），比较容易的可以知道，当 B + D = 360 ° B+D=360\degree B+D=360° 时，面积S可以取到最小值： 4 S 2 = − 1 4 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 + ( a 2 b 2 + c 2 d 2 ) − 2 a b c d cos ⁡ ( B + D ) (3) 4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3} 4S2=−41​(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos(B+D)(3)

4 S m i n 2 = − 1 4 ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 ) 2 + ( a 2 b 2 + c 2 d 2 ) − 2 a b c d (6) 4S_{min}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd \tag{6} 4Smin2​=−41​(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcd(6)

只是这个时候很可能四边形是凹四边形，甚至出现重叠（如正方形）或者交错（如长方形）的现象，这时面积的定义就会变得模糊。因而只讨论凸四边形的面积最小值是比较可取和有意义的。   这里我们转换一下思维模式，将AC的长度作为自变量，AC的伸缩的过程中，B和D会随之变化。由下面两式 x 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ B x^2=a^2+b^2-2ab\cos B x2=a2+b2−2abcosB

x 2 = c 2 + d 2 − 2 c d cos ⁡ D x^2=c^2+d^2-2cd\cos D x2=c2+d2−2cdcosD

我们可以得到第一条性质：

  根据cos函数在[0,2pi]上的单调性（先减后增）可知，x很大或很小都可能导致一个较小的面积值，因此需要分情况讨论。

  随着x的增大，假设 a + b < c + d a+b\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd} cosD=2cdc2+d2−x2​>2cdc2+d2−(a+b)2​

在这种情况的讨论下，随着x的增大，B+D总会在某一个x取值的时刻达到180度，随后继续增大，但不会超过360度，我们取B+D=180度时x的值为x0，那么在x>x0之后，cos(B+D)是随着(B+D)递增的。故有：

cos ⁡ ( B + D ) < cos ⁡ ( π + D ) = − cos ⁡ D < − c 2 + d 2 − ( a + b ) 2 2 c d \cos{(B+D)}