高等数学：定积分在物理学上的应用

专题分析下定积分在物理学上的应用几种案例。库仑力做功、推气体、抽水玩法、液体静压力。相信很多同学在这里都很懵逼，不好理解。这里简单小述一下，看看能不能加深理解的印象。O(∩_∩)O哈哈~。

这种玩法十分简单，看一遍就能懂了。

一定要明白一个道理，在微积分思想中，要用微分的思想对抗它。

匀速直线做功：W = FS（力 ✖️ 距离）

变力沿直线做功：在a → b上，变力做功。F为关于s的变力，ds是所做功的长度。 W = ∫ a b F ( s )   d s W = \int_a^b {F(s)} \,{\rm d}s W=∫ab​F(s)ds

重点：当ds很小很小的时候，F(s)的变化很小，这时可以看作恒力做功。

我们知道，电荷之间的作用力是F®。

库仑力公式： F ( r ) = k q 1 ∗ q 2 r 2 ( k 是 常 数 ) F(r) = k \frac{q1 *q2}{r^2} \quad (k是常数) F(r)=kr2q1∗q2​(k是常数) 那通常情况下，都会有个单位正电荷存在。于是单位正电荷下的库仑力可以写为。（单位正电荷是1） F ( r ) = k q 1 r 2 ( k 是 常 数 ) F(r) = k \frac{q1}{r^2} \quad (k是常数) F(r)=kr2q1​(k是常数)

故结论：电荷做功如下，微元功 dw = F( r ) ✖️ dr。 W = ∫ a b   d w = ∫ a b F ( r ) d r = ∫ a b k q 1 r 2 d r = k q ∫ a b 1 r 2 d r W = \int_a^b \,{\rm d}w =\int_a^b F( r ) dr = \int_a^b k \frac{q1}{r^2}dr \quad = kq \int_a^b \frac{1}{r^2}dr \quad W=∫ab​dw=∫ab​F(r)dr=∫ab​kr2q1​dr=kq∫ab​r21​dr

开始了解，引入波义尔定律。等温情况下，气体的体积、压强存在某种固定的联系。气体膨胀之后，压强就会减少。

知道两个公式先

.（bo 义 尔） 定律：PV = K(P为压强、V为体积、k是常数)

. 压力公式：F = PS （F为压强、S是面积)（压强与面积的乘积）

体积公式：v = sh（这个不用再解释了吧。。。）

dw = F✖️dx 首先、咱们可以先从压力公式拆解压力F。F = PS 1、F = PS 其次、咱们由波义尔定律去限制下压强P。PV = K 2、F = k/v ✖️ S 然后、我们把v体积给拆解一下。v=sx（s为面积、x为长度） 3、F = k/sx ✖️ S = k/x 于是dw就出来了。 4、dw = k/x ✖️dx

故结论：推气体做功如下，微元功 dw = k/x ✖️dx W = ∫ a b   d w = ∫ a b k x d x W = \int_a^b \,{\rm d}w =\int_a^b \frac {k} {x} dx W=∫ab​dw=∫ab​xk​dx

例题：一蓄满水的圆柱型水桶高为5m，底圆半径为3m。 试问要把桶里的水全部吸出需要做多少功。

故结论：吸水桶的水做功如下. 微元功 dw= Gx = mgx = ρgvx =ρgxπr^2 ✖️ dx(长度微元) W = ∫ a b   d w = ρ g π r 2 ∫ a b x d x W = \int_a^b \,{\rm d}w = ρgπr^2 \int_a^b x dx W=∫ab​dw=ρgπr2∫ab​xdx

例题：一水平横放半径为R的圆桶内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的压力。

物理学知：在水深处h的压强p=ρgh 密度、重力加速度、水深高度。 如果有一面积为A的平板水平的放置在水深处h处，那么平板一测所受的压力为P=PA （水压= 压强 乘 面积）

一定要知道的两个公式

微积分思想：累加水片的压力。

那么从一端的圆面看过去，脑补出小水片，就可以开始得出压力微元了。

注意：不是做功，是求压力了。。。 水压微元 dP = PS （压强、面积）