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函数的极值和最值及其应用

函数极值的定义

设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.

函数最值的定义

设函数在区间上有定义，如果存在一点，使得不小于其他所有的，亦即 ，

则称是在上的最大值，又可记为 ；

同样使得不大于其他所有的，亦即 ，

则称是在上的最小值，又可记为 .

注意：函数在上未必一定有最大（小）值。

最值和极值的联系与区别

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；

（2）极值未必是最值；

（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。

函数极值、最值的求解方法

1、降元法

求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

例1：已知，求函数的极值。

解：由题设得，代人得

即函数的定义域为：

当时，当时，

2、转化法

在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。

例2：求函数的极小值.

解：设

令

则：

例3：求函数的极值

解：原函数化为：

，其中

解得：

3、换元法

换元法是把问题进行转化的一种常用方法。

例4：已知，求的极值.

解：

令

则（其中）

例5：求函数的极值

分析：本例可通过辅助元把所给函数化为二次函数：

，

即把上述极值问题转化为抛物线在范围内求最高点和最低点的问题。此处不予以细致解答。

4、判别式法

若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。

例6：已知满足，求的最小值.

解：由得代人约束条件并以为主元整理得：

解得: （1）

当且仅当时（1）式取等号。

由的对称性知当时，.

或求函数 的最大值

5、不等式法

例7：已知满足，求函数 的极值。

解：由已知式配方得： （1）

（2）

得解得

其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析

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