解析几何复习（二）正交变换和仿射变换

以前学习解析几何的时候更加侧重几何，或者说直观方面，但是既然是解析几何，当然也不能忽视代数在其中的重要作用。例如，正交变换的概念第一次学习是在高等代数课上，但是当时只是一些枯燥的概念，学了也就是应付考试，而在仔细看了丘维声教授的《解析几何》一书后，我对正交变换这一概念的理解更加深入了，下面简要总结一下正交变换及仿射变换的一些内容。

几何空间中三种常见的变换（集合到自身的映射）：反射、平移、旋转，他们具有相似的性质，将坐标记成矩阵乘法的形式，可分别得到：

设反射轴为： l : A x + B y + C = 0 l:Ax+By+C=0 l:Ax+By+C=0 则反射变换 { x ′ = 1 A 2 + B 2 [ ( B 2 − A 2 ) x − 2 A B y − 2 A C ] , y ′ = 1 A 2 + B 2 [ ( A 2 − B 2 ) x − 2 A B x − 2 B C ] . \begin{cases} x'=\dfrac1{A^2+B^2}\left[(B^2-A^2)x-2ABy-2AC\right],\\ y'=\dfrac1{A^2+B^2}\left[(A^2-B^2)x-2ABx-2BC\right]. \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x′=A2+B21​[(B2−A2)x−2ABy−2AC],y′=A2+B21​[(A2−B2)x−2ABx−2BC].​

( x ′ y ′ ) = ( x y ) + ( a b ) \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} (x′y′​)=(xy​)+(ab​)

( x ′ y ′ ) = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ( x y ) \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} (x′y′​)=(cosθsinθ​−sinθcosθ​)(xy​)

实数域上的 n n n级矩阵 A A A如果满足： A T A = I , A^TA=I, ATA=I,

那么称 A A A是正交矩阵。

正交变换（反射，平移，旋转）不改变点之间的距离，所以也称为保距变换。由于变换是一种特殊的映射（自身到自身的映射），所以正交变换具有映射的一些性质，下面讨论正交变换的一些特殊性质。

平面上一个点变换，如果保持任意两点的距离不变，则称它为正交（点）变换或保距变换。

（正交变换第一基本定理）平面上的正交变换 σ \sigma σ把任意一个直角标架 I   [ O ;   e 1 ;   e 2 ] \mathrm{I}\ [O;\,e_1;\,e_2] I [O;e1​;e2​]变成一个直角标架 I I \mathrm{II} II，并且使得任意一点 P P P的 I \mathrm{I} I坐标等于它的像 P ′ P' P′的 I I \mathrm{II} II坐标；反之，如果平面上的一个点变换 τ \tau τ使得任意一点 Q Q Q在直角标架 I \mathrm{I} I中的坐标等于 Q Q Q的像 Q ′ Q' Q′在直角标架 I I \mathrm{II} II中的坐标，则 τ \tau τ是正交变换。

（正交变换第二基本定理）平面上的正交变换或者是平移，或者是旋转，或者是反射，或者是它们之间的乘积。

设平面上的正交点变换 σ \sigma σ把直角标架 I   [ O ;   e 1 ;   e 2 ] \mathrm{I}\ [O;\,e_1;\,e_2] I [O;e1​;e2​]映成直角标架 I I   [ O ′ ;   e 1 ′ ;   e 2 ′ ] \mathrm{II}\ [O';\,e_1';\,e_2'] II [O′;e1′​;e2′​]，其中 O ′ ,   e 1 ′ ,   e 2 ′ O',\,e_1',\,e_2' O′,e1′​,e2′​的 I \mathrm{I} I坐标分别是 ( a 1 ,   a 2 ) T (a_1,\,a_2)^\mathrm{T} (a1​,a2​)T, ( a 11 ,   a 21 ) T (a_{11},\,a_{21})^{\mathrm{T}} (a11​,a21​)T, ( a 12 ,   a 22 ) T (a_{12},\,a_{22})^{\mathrm{T}} (a12​,a22​)T，则 σ \sigma σ在直角标架 I \mathrm{I} I中的公式为 ( x ′ y ′ ) = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ( x y ) + ( a 1 a 2 ) , \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, (x′y′​)=(a11​a21​​a12​a22​​)(xy​)+(a1​a2​​), 矩阵 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} A=(a11​a21​​a12​a22​​)是正交矩阵。反之， τ \tau τ是正交变换。

平面上一个点变换 τ \tau τ，如果它在一个仿射坐标系中的公式为 ( x ′ y ′ ) = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ( x y ) + ( a 1 a 2 ) , \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}, (x′y′​)=(a11​a21​​a12​a22​​)(xy​)+(a1​a2​​), 其中系数矩阵 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{pmatrix} A=(a11​a21​​a12​a22​​)是非奇异的，则称 τ \tau τ是平面的仿射（点）变换。