坐标变换基础

空间中一个坐标系相对于另一个坐标系的变换关系用新坐标系的三个坐标轴相对于原坐标系的方向矢量来确定，可用 矩阵来描述。用齐次矩阵（4x4）来统一描述刚体的位置和姿态：

其中，R便是描述姿态的旋转矩阵。 和沿着三个坐标轴的平移运动不一样，旋转矩阵显得很不直观，也繁琐。因此往往需要使用更简洁的方式来描述姿态变换。固定角与欧拉角便是最常规的两种。

固定角与欧拉角的区别在于，在旋转变换的过程中，欧拉角指的是旋转是绕物体自身的坐标轴旋转。固定角指的是旋转绕世界坐标系的轴旋转。以下介绍两种常见的表达形式来具体分析

如图所示，首先将目标坐标系{B}与参考坐标系{A}重合，将坐标系{B}先绕XA轴旋转γ度，再将坐标系{B}绕YA轴旋转β度，最后将坐标系{B}绕ZA轴旋转α度。最终得到新的坐标系{B}。

可以看到每次旋转都是绕着固定坐标系{A}的轴，所以才称为X-Y-Z固定角。

相当用9个方程对3个未知量求解。经分析，通过对r11和r21对应两个等式求平方和再开根，可以求得cosβ，再由r31可以求得sinβ，即可解出β。 在不考虑β=±90°的情况下，联立r11和r21对应两个等式可以求得α，联立r32和r33两个等式可求得γ，具体公式如下： 考虑β=±90的特殊情况，α任意解都满足，一般取0。 若β=90°，则： 若β=-90°，则： matlab代码如下