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欧拉公式被称为“上帝创造的公式”,它也令人着迷!推动了数学界和物理界的发展。它简洁而美妙! 它也有多种方法可以证明!本篇文章用非常直接的方法证明欧拉公式(并不需要级数理论),高中生都可以看懂! 第一种方法是用循序渐近的方法,并予以解释,以便让读者明白变化细节;第二种方法是用非常简洁的方法直接推导出来,最后证明指数为虚数的指数函数的极限定义式的良性。本篇文章我们通过10个章节来直观、严谨、简洁地证明欧拉公式,建议收藏反复阅读~ 欧拉简介欧拉公式简介自然底数欧拉——为数学而生! ![]() 9岁,看完牛顿的《自然哲学的数学原理》。13岁考入巴塞尔大学主修哲学和法律,还修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。课余还研究音乐、物理、建筑等等。19岁就成功博士毕业,博士毕业论文写的物理论文。20岁参加巴黎科学院奖金的争夺,得了第二。接下来12年,建筑大赛的冠军都被欧拉拿了。27岁那年,他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等。31岁,丧失了右眼视力。32岁出版了一部音乐理论著作,顺便发明了,空气动力学和流体动力学。59岁,双目失明,但欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的,他能够复述年青时代笔记的内容。64岁的欧拉,带病而失明,被围困在大火中。虽然得救,但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。于是只能重写。他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十七年。 十八世纪,被成为欧拉世纪毫不过分。 2. 欧拉公式简介欧拉公式是复分析领域的公式,它将三角函数与复指数函数关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出,对任意实数
都成立,其中 称为欧拉公式。欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。当
即欧拉恒等式。 ![]() 我们在回答中 数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?674 赞同 · 88 评论回答已经论述过自然底数
并且我们在那里也证明了它的收敛性。 4.对于任意的
令
则
因此我们可以非常自然且合理地在正数范围内将
当 当
令
则
这说明该极限定义式
可以非常合理地延拓到整个实数域上。 6.我们已经将
合理地延拓到了整个实数域上。下面我们在整个复数域上定义
现在我们来推导它的极限结果是什么。我们来考察下面的极限
当
它的模长是 它的辐角
以上计算步骤均省略了二阶小量,在精确到一阶小量时,我们有
或许有人说这需要用到罗毕达法则或泰勒展开,其实不然,这些东西我们直接用作图的方法就可以直接到得结论,希望读者能做到形不离数,数不离形。下文也是同样省略了高阶小量。 当
它的辐角
到了这一步,我们自然地会想到用数学归纳法继续递推下去。假定对于
成立,则对于
因此当
的模长为
辐角为
因此有
另一方面为了保持指数函数的良性定义有
综合以上两式可得对做任意的实数
这便是著名的欧拉公式。 7. 极限有复平面上的运动过程及解释在上述求极限的过程中,我们会发现因子中每多出一个 最终结果在复平面上的辐角都会增加 ![]() 第6小节之所以一步一步推导是为了方便让读者尽可能多地理解细节,即每一步模长和辐角的变化。其实我们可以更加直接地算出结果,过程不必那么长。当我们有了定义
以后,我们知道
则
而
因此
因此
我们也同样导出了欧拉公式。 9.下面我们来证明当我们定义了
以后,对做任意的复数
我们来证明
记得高斯曾说:“如果不能一眼看出欧拉公式是显然成立的,这个人永远成不了一流数学家。”其实高斯的说法有它的道理,甚至我也说过:“真正在数学上有悟性的人几乎时时擅长透视一切事物的本质,这种透视不仅仅是对数学的透视。” 虽然高斯说得有些过于绝对和言过其实,但是看问题一眼看到本质确实是重要的。之所以说这种说法言过其实,是因为迷与悟的差别就在一瞬间。虽然悟需要很多先天条件甚至是后天积累,但是从迷到悟都是瞬间的事。有的人可能上厕所之前还没有悟,但是上厕所过程中突然就悟了。正如同顶级数学家真正擅长数学竞赛的也仅仅占51%,世间任何不可量化的客观事实都很难找到唯一标准,所以我说高斯的说法过于绝对。当然高斯之所以这样说,应该是来自他绝对的自信,因为高斯确实是天才之中的天才。 |
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