BSM的两个基本问题与python实现（欧式期权定价公式）

在我们的定义中，定量分析是数学或统计学方法在市场数据上的应用。 ——John Forman

BSM定价模型的两个基本问题：

BSM公式（1-1）

C ( S t , K , t , T , r ) = S t ⋅ N ( d 1 ) − e − r ( T − t ) ⋅ K ⋅ N ( d 2 ) C(S_t,K,t,T,r)=S_t\cdot N(d_1)-e^{-r(T-t)} \cdot K\cdot N(d_2) C(St​,K,t,T,r)=St​⋅N(d1​)−e−r(T−t)⋅K⋅N(d2​) N ( d ) = 1 2 π ∫ − ∞ d e − 1 / 2 x 2 d x N(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-1/2}x^2}dx N(d)=2π ​1​∫−∞d​e−1/2x2dx d 1 = l o g ( s T / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_1=\frac{log(s_T/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d1​=σT−t ​log(sT​/K)+(r+σ2/2)(T−t)​ d 2 = l o g ( s T / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_2=\frac{log(s_T/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d2​=σT−t ​log(sT​/K)+(r−σ2/2)(T−t)​

不同参数有如下含义： S t S_t St​ 在时点t的标的物价格水平； σ \sigma σ 标的物固定波动率（也就是收益的标准差）； K K K 期权行权价格； T T T 期权到期日； r r r 固定无风险短期利率； 现在考虑欧式看涨期权的一个报价 C ∗ C^* C∗已知的情况。隐含波动率 σ i m p \sigma^{imp} σimp是公式（1-1）中的隐式方程的解。 公式（1-2） 方程式数值化求根的牛顿迭代法 σ n + 1 i m p = σ n i m p − C ( σ n i m p ) − C ∗ ∂ C ( σ n i m p ) / ∂ σ n i m p \sigma_{n+1}^{imp}=\sigma_n^{imp}-\frac{C(\sigma_n^{imp})-C^*}{\partial C(\sigma_n^{imp})/\partial \sigma_n^{imp}} σn+1imp​=σnimp​−∂C(σnimp​)/∂σnimp​C(σnimp​)−C∗​

期权定价公式对于波动率的偏微分称作Vega，公式1-3给出了Vega的闭合方式。 公式1-3 BSM模型中欧式期权的Vega ∂ C ∂ σ = S t N ( d 1 ) T − t \frac{\partial C}{\partial \sigma}=S_tN(d_1)\sqrt{T-t} ∂σ∂C​=St​N(d1​)T−t ​