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逻辑推理与集合操作可以看做是同一个过程的不同展示方式,这两者具有不同的特点。 逻辑推理通常是一种思维过程、语言文本的形式。 而集合则很容易采用一种可视化的方式进行展示,并且集合很容易进行交集、并集、补集、差集等计算。 把语言的逻辑推理过程转换为集合操作,可以使得推理过程更加简单、更容易理解、更不容易出错。 一个常见的三段论的逻辑推理例子: 人终有一死; 苏格拉底是人; 苏格拉底终有一死。对应到集合操作可视化为下图 但是怎么根据集合操作得到或者检验最终的结论呢? 这只需要根据: 1. 集合整体成立的条件,其子集成员均成立。 2. 子集满足的特性其父/母集合中其他成员并不一定满足。 上面的例子中,因为苏格拉底是人的子集,因此人的集合整体满足的任何特性,作为人子集的苏格拉底都会满足。但是反过来就不成立: 苏格拉底是人; 苏格拉底终有一死; 人终有一死;那么具体怎么把自然语言的逻辑推理转换为集合操作呢: 1. 把每个前提条件转换为相应的集合以及集合的交并补差等计算。 2. 得到结论所属的集合。 3. 把结论所属集合作为子集,检验其被包含的更大集合的性质得到该集合的性质。 充分、必要条件与集合 充分、必要条件定义参考: The Concept of Necessary Conditions and Sufficient Conditions 充分条件定义: Definition: A condition A is said to be sufficient for a condition B, if (and only if) the truth (/existence /occurrence) [as the case may be] of A guarantees (or brings about) the truth (/existence /occurrence) of B. 如果A成立,那么B成立。 Definition: A condition A is said to be necessary for a condition B, if (and only if) the falsity (/nonexistence /non-occurrence) [as the case may be] of A guarantees (or brings about) the falsity (/nonexistence /non-occurrence) of B. 如果A不成立,则B不成立。 充分条件用集合来理解就是,因为A为B的子集,因此A满足B的特性,B所拥有的特性成立。
举两个例子,我们在中午或晚上会睡觉,那么如果中午可以推导出睡觉,晚上也可以推导出睡觉。 但是睡觉不能推导出中午。 a,b,c=3,4,5 -> a^2+b^2=c^2,但是a^2+b^2=c^2不能推出a,b,c=3,4,5 这里看上去跟第一部分内容是矛盾的,但实际上含义都是子集满足父集的特性。逻辑推理最重要的是找到结论所在的集合,以及所属的父集以及其成立的特性。 必要条件用集合理解是,因为父集的特性没有被满足,因此该成员不是子集成员。 例如:不睡觉->不是中午、晚上。a^2+b^2不等于c^2 -> a,b,c不等于3,4,5。 充分、必要条件与集合的关系简而言之:子集为充分条件,父集为必要条件,等集为充要条件。
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