一篇文章深入浅出带你理解CCR,BCC数据包络模型

2024-07-05 21:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

一数据包络模型介绍

1.1 背景介绍

小明是中国银行长沙分行的管理人员，每到年底时，小明需要评估长沙分行下辖所有支行在这一年的营运效率。营运效率在这里定义为：在给定一定量的资源投入下，该分行将投入的资源转化为我们想要的产出的能力。小明需要做的第一件事是选取投入指标和产出指标。假设他选取各个支行的员工数作为投入指标：该支行本年度新增存款作为产出指标，评估各个支行的效率是显而易见的：按照本年度新增存款/员工数从高到低排序即可。即平均每位员工拉来的存款越多，该支行的营运效率越高，这被称为单投入单产出下的效率评估。然而，真实情况显然没有这么简单。在真实的银行管理运营中，我们需要考虑除了员工数之外的其他诸多投入指标，如营业支出、固定资产净值等；此外，我们也需要考虑除了本年度新增存款之外的其他诸多产出指标，如资本收益等，这被称为多投入多产出下的效率评估。对于单投入-单产出的模型，可以通过投入产出比、生产函数等方法进行效率评估；对于多投入-单产出的模型，有多元线性回归、逻辑回归等方法进行评估；那么对于多投入-多产出模型，我们应该采用什么方法对其进行效率评估呢？

1.2 DEA方法的思想

DEA是对其决策单元（DMU）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）做一个相对有效性的评价。DEA方法是一种以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具的评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象作出评价。它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点。

二 CCR模型介绍

2.1 线性分式模型

m a x h 0 ( u , w ) = ∑ r = 1 s u r y r 0 ∑ i = 1 m w i x i 0 max\;h_{0}(u,w)=\frac{\sum_{r=1}^s u_{r}y_{r0}}{\sum_{i=1}^m w_{i}x_{i0}} maxh0(u,w)=∑i=1mwixi0∑r=1suryr0 S u b j e c t t o Subject\;to Subjectto

∑ r = 1 s u r y r j ∑ i = 1 m w i x i j ≤ 1 , j = 1 , . . . , n \frac{\sum_{r=1}^s u_{r}y_{rj}}{\sum_{i=1}^m w_{i}x_{ij}}\leq1,j=1,...,n ∑i=1mwixij∑r=1suryrj≤1,j=1,...,n w i , u r ≥ 0 f o r a l l i a n d r \\w_{i},u_{r}\geq0\;for\;all\;i\;and\;r wi,ur≥0foralliandr

根据DEA方法的基本思想，构建以最大化函数为加权产出投入比的线性分式模型，控制每个DMU加权产出投入比小于等于1，寻找其中某一个DMU所能达到的最大加权产出投入比，若某一DMU的最大化函数能够等于1，则说明该DMU是有效的（efficient），反之，若最大化函数小于1，则说明该DMU是无效的（inefficient），也就是说明在相同投入的情况下，存在其他DMU产出大于该DMU。

2.2 线性规划模型

通过Cooper转换，将上述线性分式模型转换为线性规划模型。该模型又称为乘数模型。 m a x z = ∑ r = 1 s u r y r o max\;z=\sum_{r=1}^s u_{r}y_{ro} maxz=∑r=1suryro S u b j e c t t o Subject\;to Subjectto

∑ r = 1 s u r y r j − ∑ i = 1 m w i x i j ≤ 0 , j = 1 , . . . , n \sum_{r=1}^su_{r}y_{rj}-\sum_{i=1}^mw_{i}x_{ij}\leq0,j=1,...,n ∑r=1suryrj−∑i=1mwixij≤0,j=1,...,n ∑ i = 1 m w i x r 0 = 1 \sum_{i=1}^mw_{i}x_{r0}=1 ∑i=1mwixr0=1 w i , u r ≥ 0 f o r a l l i a n d r \\w_{i},u_{r}\geq0\;for\;all\;i\;and\;r wi,ur≥0foralliandr

线性规划模型的约束在于控制待评价DMU加权投入之和为1，并保证每一DMU的加权产出和小于等于其加权投入和，由此得到最大化函数为待评价DMU的加权产出和，可视为效率因子，若效率因子等于1，说明该DMU有效，反之，该DMU无效。

2.3 对偶模型

根据运筹学（目标函数约束对偶）或凸优化（拉格朗日对偶）知识，得到上述线性规划模型的对偶模型。该对偶模型又称为包络模型。 m i n θ min\;\theta minθ S u b j e c t t o Subject\;to Subjectto

∑ j = 1 n x i j λ j ≤ θ x i 0 , i = 1 , . . . , m \sum_{j=1}^nx_{ij}\lambda_{j}\leq\theta\,x_{i0},i=1,...,m ∑j=1nxijλj≤θxi0,i=1,...,m ∑ j = 1 n y r j λ j ≥ y r 0 , r = 1 , . . . , s \sum_{j=1}^ny_{rj}\lambda_{j}\geq\,y_{r0},r=1,...,s ∑j=1nyrjλj≥yr0,r=1,...,s λ j ≥ 0 , j = 1 , . . . , n \lambda_{j}\geq0,j=1,...,n λj≥0,j=1,...,n

转换后的对偶模型最优函数可视为研究某一DMU在其各维度下产出不变的情况下，所能够压缩到的最小投入量，其中 θ \theta θ代表能够压缩到的最小投入量。当 θ \theta θ为取到1时，显然是该约束方程组下的一个可行解，即当前DMU实际的投入与产出。若最终求解得到的 θ \theta θ为1，则说明该DMU是有效的。从实际意义角度分析约束方程组，考虑全部DMU在各维度的加权产出和大于等于该DMU的产出，并考虑该DMU在各维度的投入与 θ \theta θ的乘积大于等于全部DMU在各维度的加权投入和。由此若能找到一 θ < 1 \theta

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