【概率论与数理统计】第一章 知识笔记

只记录自己感觉重要的。是高等教育出版社，龙永红主编的版本。

概率论是：研究随机现象的规律性的数学学科。

本章重点：随机事件及其概率。

随机现象：我们事先无法准确预知其结果的现象。

统计规律性：人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性.

一个随机试验的特点：可重复性、可观察性、随机性。

样本点：随机试验的每一个可能结果称为一个样本点。 用 ω表示。 样本空间：一个随机试验的所有样本点。通常用 Ω表示。

事件：概率论中将这一可观察的特征称为一个事件.有： 随机事件、必然事件、不可能事件。 后两者是对立的，都是确定性事件。

基本事件：对应于一个惟一的可能结果, 即样本点, 这样的事件称为基本事件。

事件的集合表示： 样本空间实际上是所有样本点构成的集合, 相应的每一样本点是该集合中的元素.

样本空间 Ω——必然事件。 空集——不可能事件。

事件间的关系与运算： 包含、相等、并（和）、交（积）、差、互不相容事件、对立事件。

跟集合类比即可。

差：“事件 A 发生而 B 不发生”这一事件称为事件 A 与 B 的差, 记作 A- B.

互不相容事件：事件 A 与 B 不可能同时发生，则称事件 A 与 B 是互不相容事件.

对立事件：“事件 A 不发生”, 这一事件称为事件 A 的对立事件。

有限个或可数个事件的并与交： 有限个或可数个事件至少发生一个是并，都发生是交。

完备事件组： 大概就是加在一起就是一个1的事件组。

随机事件的运算律：

概率和频率解释：

定义 1.1 随机事件 A 发生的可能性大小的度量 ( 数值) , 称为事件 A 发生的概率, 记作 P ( A) .

频率的稳定值是概率的外在的必然表现，频率可用来作为概率的估计。

从频率的性质看概率的性质：

反映频率特征的核心性质：

概率的性质：

概率的公理化定义：

概率测度的其他性质：

是概率计算的重要基础。

性质6及其推论 用韦恩图 画一画就非常好推得了。

古典概型：

古典概型是关于有限等可能结果的随机试验的概率模型.

古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型: ( 1) 随机试验只有有限个可能结果; ( 2) 每一个可能结果发生的可能性相同.

概率测度：

几何概率：

几何概型是样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型.

几何概率：

几何概率满足概率的公理化定义. 如果在一个线段上投点, 则几何概率 ( 1.1) 中的面积应改为长度; 如果在一个空间立体上投点, 则面积应改为体积.

PS：几何概型的问题都可以转变为图形。 如会面问题可以转变为xy坐标系上的图形问题：

引例： 记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为 A, “取出的产品为次品”这一事件为 B. 已知A，求B：

条件概率的数学定义：

一种有趣的现象: 已知第二次取到的是黑球的条件下, 第一次取到的是黑球的概率与已知第一次取到的是黑球的条件下,第二次取到的是黑球的概率相同, 这一结论具有一般性。

乘法公式：

全概率公式： 用一道例题来理解全概率公式：

定理：

贝叶斯公式：

一个关于贝叶斯公式的例子（包含推导）： P(B)的拆开用全概率公式是因为B是A之后发生的。所以P(B)用全概率，P(A)用条件公式。

贝叶斯定理：

两个事件的独立性:

定理： 有限个事件的独立性：

相互独立性的性质： 伯努利 ( Bernoulli) 概型：

定义 1.7 一个试验序列称为一个独立试验序列, 如果它的各试验的结果之间是相互独立. 定义 1.8 一个试验序列称为伯努利试验序列, 如果它是由一个伯努利试验独立重复进行形成的试验序列. 特别地, 由一个伯努利试验独立重复 n 次形成的试验序列称为 n 重伯努利试验.

定理看着复杂，但是自己举个例子就简单多了。 定义随便看看，知道一下就行了。