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機率密度函數
 以盒状图与概率密度函数展示的正态分布 N(0, σ2).
在数学中，连续型随机变量的概率密度函數（Probability density function，簡寫作PDF [1]），在不致於混淆时可简称为密度函数，是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。圖中，橫軸為隨機變量的取值，縱軸為概率密度函數的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累積分佈函數是概率密度函数的积分。 概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。 目录 1 常见定义 1.1 性质 2 例子 3 应用 4 特征函数 5 參見 6 参考文献 6.1 引用 6.2 书籍 常见定义[编辑]对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是 F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} 。如果存在可测函数 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} ，满足： ∀ − ∞ − ∞ a f X ( x ) d x {\displaystyle \forall -\infty ∞ 0 {\displaystyle \forall -\infty ∞ ∞ f X ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1} ∀ − ∞ b ] = F X ( b ) − F X ( a ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle \forall -\infty b ] {\displaystyle \mathbb {P} \left[a a {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{b-a}}} 。这个函数并不是完全的连续函数，但是是可积函数。 正态分布的概率密度函数
正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是： f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}}随着参数 μ {\displaystyle \mu } 和 σ {\displaystyle \sigma } 变化，概率分布也产生变化。 应用[编辑]随机变量X的n阶矩是X的n次方的期望值，即 E [ X n ] = ∫ − ∞ ∞ x n f X ( x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} [X^{n}]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f_{X}(x)\,dx}X的方差为 σ X 2 = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = ∫ − ∞ ∞ ( x − E [ X ] ) 2 f X ( x ) d x {\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} \left[\left(X-\mathbb {E} [X]\right)^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-E[X])^{2}f_{X}(x)\,dx}更广泛的说，设 g {\displaystyle g} 为一个有界连续函数，那么随机变量 g ( X ) {\displaystyle g(X)} 的数学期望 E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f X ( x ) d x {\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx} [3] 特征函数[编辑]對機率密度函數作类似傅立葉變換可得特徵函數。 Φ X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e j ω x d x {\displaystyle \Phi _{X}(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{j\omega x}\,dx}特徵函數與機率密度函數有一對一的關係。因此，知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的機率密度函數。[4] 參見[编辑] 概率分布 概率质量函数 累积分布函数 条件概率密度函数 核密度估计 似然函数 参考文献[编辑] 引用[编辑] ^ Shaou-Gang Miaou; Jin-Syan Chou. 《Fundamentals of probability and statistics》. 高立圖書. 2012: 第98頁. ISBN 9789864128990. 引文使用过时参数coauthors (帮助) ^ 2.0 2.1 章昕、邹本腾、漆毅、王奕清. 概率统计双博士课堂(浙大3版概率论与数理统计). 机械工业出版社. 2003. ISBN 7-111-12834-6. ^ 邵宇. 《微观金融学及其数学基础》. 清华大学出版社. 2004: 398–400. ISBN 7-302-07627-8. ^ 邵宇. 《微观金融学及其数学基础》. 清华大学出版社. 2004: 417–418. ISBN 7-302-07627-8. 书籍[编辑] 钟开莱. 《概率论教程》. 上海科学技术出版社. 1989. ISBN 7-5323-0648-8. 查论编概率分布的理论 概率质量函数(pmf) 概率密度函数(pdf) 累积分布函数(cdf) 分位函数
矩
中心矩
期望值
方差
標準差
偏度
峰度
矩生成函數(mgf)
特征函数
概率生成函数(pgf)
累积量
|
。如果存在可测函数
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
，满足：
∀
−
∞
b
]
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
=
∫
a
b
f
X
(
x
)
d
x
{\displaystyle \forall -\infty
b
]
{\displaystyle \mathbb {P} \left[a
a
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{b-a}}}
。这个函数并不是完全的连续函数，但是是可积函数。
和
σ
{\displaystyle \sigma }
变化，概率分布也产生变化。
![{\mathbb {E}}[X^{n}]=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{n}f_{X}(x)\,dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d29b8773308bf827f5cecd7f2bad20e67cefff)
![\sigma _{X}^{2}={\mathbb {E}}\left[\left(X-{\mathbb {E}}[X]\right)^{2}\right]=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}(x-E[X])^{2}f_{X}(x)\,dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6937db91a710b8014caaf95e225ffe2c6462b70)
为一个有界连续函数，那么随机变量
g
(
X
)
{\displaystyle g(X)}
的数学期望
![{\mathbb {E}}[g(X)]=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}g(x)f_{X}(x)\,dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654cf86a26b7770eda911d52c4475bddb75da02e)
[3]
特征函数[编辑]
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