【概率论】1

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Abstract: 本文主要介绍事件的并集对应的概率计算，以及一个补充的概率小知识，怎么用统计骗人 Keywords: Union of two Events，Union of Finite Number of Events，Statical Swindles

废话还是说说数学吧，学数学真的看不到立竿见影的事，相比学个C++、TensorFlow，这些更有成就感，毕竟写了就有结果可以看，数学学习的结果就是，你可能只会做两道题，没办法直接让你升值加薪，但是凡事都有因果，通过这几个月简单的学习，我发现身边的很多事都能用数学解释，比如今天要写的，如果我早些学习可能可以避免很多不必要的损失，而且通过学数学分析，可以通过一个人的语言来判断这个人的逻辑，进而判断这个人的性格，这是心理学的内容了，我不懂心理学，但是很感兴趣，如果有机会去研究下心理学，毕竟也跟人工智能强相关。 本篇介绍两个小知识点，关于事件的并集的概率求法，以及一些概率的日常应用

在前面1-1概率定义中的T7给出了两个相交的事件的并集的概率计算方法： P r ( A ∪ B ) = P r ( A ) + P r ( B ) − P r ( A ∩ B ) Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A\cap B) Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)−Pr(A∩B) 详细的证明在1-1中也有给出，这个公式在本文中将会进一步展开，把其延展到无数项，但是在开始之前我们还是来复习下这个定理，事件是试验结果的集合，集合的基本运算就是交，并，补，补集和概率的对应我们在1-1中的T3就是最基础的补集的概率计算，剩下就是交集和并集的计算了，T7给出了两个集合并集的概率计算公式，并给出了分析的证明方法，之前看书和上课老师都是给我们画个Venn图没然后说 P r ( A ∪ B ) Pr(A\cup B) Pr(A∪B) 是 P r ( A ) + P r ( B ) Pr(A)+Pr(B) Pr(A)+Pr(B) 但是重复加了一遍 P r ( A ∩ B ) Pr(A\cap B) Pr(A∩B) 所以要减去。 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-WJRXZWXT-1592533787695)(https://tony4ai-1251394096.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/blog_images/Math-Probability-1-4-Union-of-Event/two_events.png)]

提到Venn图说一下，就是关于理解数学，到底是用图形化的可视化的方法好，还是分析法好，这个没办法一棍子打死，大学之前老师们都喜欢用画图的方法教大家理解概念知识点，原因是高中，初中，知识点极其少，更多是的各种拐弯的习题，所以为了加深大家的理解，画个图，直观，而且更容易被人接受，但是到了大学以后，画图就不再合适了，因为知识点变多，而且有很多没办法用二维三维的图来解释，所以，分析的方法到了大学以后是更有用的，拿机器学习的例子来说，做可视化是一个方向，但是这个方向的结果大多是为了展示给一些没有背景的人来看的，业内人士多半关注参数。

这里说了一大堆话的目的就是说明，分析到后面越来越有用，所以数学分析是数学系的开蒙课程。

多个事件的并集，就是对上面“分析”理论的一个很好的诠释，当事件数量超过五个，Venn图马上就乱掉了，我们这里省去三个事件的并集的概率计算，直接进行更高难度的有限个事件的并集：

Theorem For every events A 1 , … , A n A_1,\dots,A_n A1​,…,An​ , P r ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P r ( A i ) − ∑ i < j P r ( A i ∩ A j ) + ∑ i < j < k ( A i ∩ A j ∩ A k ) − ∑ i < j < k < l ( A i ∩ A j ∩ A k ∩ A l ) + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 P r ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n ) Pr(\bigcup^n_{i=1}A_i)=\sum^n_{i=1}Pr(A_i)-\sum_{i