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概率论的学习整理1： 集合和事件，以及概率是什么？
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目录 为什么最近开始重新学习数学 1 集合 set 1.1 集合的基础概念 1.2 韦恩图，文氏图 1.3 韦恩图很有用 1.4 基本的集合关系 2 实验和事件 2.1 先贴下本地的笔记图 2.2 重要概念 2.2.1 事件 event 2.2.2 事件集 events 2.2.3 互斥事件: 交集为0 P(A∩B)=P(AB)=0 2.2.4 对立事件（ 对立事件是互斥事件的一个特例） 2.2.5 独立事件 : 互不影响 P(AB) = P(A)P(B） 2.2.6 互斥事件和独立事件的关系 3 概率是什么？ 对概率和事件的重新理解 3.1 概率是一种对世界的简化模型 3.2 比概率前置的重要事情，是弄清楚，我们要分析的“目标事件” 3.3 然后才是 抽象的概率学的各种理论 3.4 概率与面积，韦恩图（文氏图） 3.5 概率各种求法 4 关于概率，与先验后验等 5 对随机实验和事件的理解 5.1 随机实验 5.2 事件 6 《测度论》 7 如何理解 实验/目标事件 实际上是符合的，就是生活中的某一方面 7.1 单一维度的事件 7.2 复杂事件 8 辨析，独立事件 和 互斥事件 （写的太错了） 8.1 概念辨析 8.2 两个独立事件，是否互斥？ 一定不互斥 8.3 两个互斥事件，是否独立？ 互斥事件一定不独立 9 概率的加法和乘法原理 9.1 加法法则应用于并列关系的事件 9.2 乘法法则应用于不相干关系的事件 10 一些概率例题 10.1 相比于国外教材 10.2 例题1 10.3 例题2 10.4 例题3 10.4 例题4 为什么最近开始重新学习数学有用，有用，还是有用！ 写在最前面的话 整理数学，是因为工作涉及到了，也是编程需要用到。所以我重新学了一段时间了，多年未学习了，几乎是从头开始了。关于写笔记，如果不自己写，感觉学了也会忘记，另外本地文档确实很没用，还是写网上文档把，CSDN的各种评价体系，我不care，我只是记个学习笔记。如果能尽量写的让初学者也能看懂，那就更好了。最近又重新学习了下数学，重新修改补充下这段内容关于我学习概率论的几个事情 我觉得学概率，肯定不能是为了做题，也不能靠做题。但是如果能把生活工作中遇到的问题都能从数学的角度去看，能去分析，并且解决，那真的太好了。如果问是问了什么？是为了解决问题，另外，希望孩子学概率论的时候能给孩子讲明白学习的小目标呢？ 弄清楚原理理清楚知识体系，用脑图整理下。我觉得不能遇到概率提就想起各种公式，套公式，而是应该有个思路，能用树状图或者2维表展开，展开思考才行，后面的都应该是顺水推舟的事情。整理一下不同的解题思路，以后遇到类似问题提高效率 1 集合 set 1.1 集合的基础概念
比如全概率公式 P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A') 很多人觉得并不好理解用下面这个图来理解全概率公式呢，很简单
以下内容仅为个人感觉和总结，先整理在这，之后需要再思考整理 3 概率是什么？ 对概率和事件的重新理解 3.1 概率是一种对世界的简化模型 我现在觉得概率是看待世界的另外一种简化方式，只看发生还是不发生，发生概率大小 不看这个事件本身的影响大小。 世界很复杂，对世界的解读和抽象有很多种思路 有的是哲学，比如什么实体，精神这种抽象。 但是也有概率这个思考，这个角度，这个层面，把所有事务都抽象为1个最小单位---事件，就是只关心事务有没有发生，发生概率多少，而不关心事务内部 概率简化这个世界的角度，是否可以这么解释？可以认为事件就是一根棍子 I，这个棍子内有什么不关心了，棍子和其他棍子的联系只剩下一种，就是发生不发生，谁发生的概率大，这个有点像二进制抽象为01，是/否，或者周易那种抽象。其他信息通通丢弃掉不再关心。 3.2 比概率前置的重要事情，是弄清楚，我们要分析的“目标事件” （1）概率是对世界的一种简化 （2） 要理解概率，先搞清楚是对什么目标事件（不同事件的关系差别很大）的概率，其实目标事件，就是我们现实世界需要解决的问题。分析概率之前，先需要把这个事情本身分析清楚，逻辑条理清晰才行。 （3）然后再应用概率的一般理论 3.3 然后才是 抽象的概率学的各种理论 3.4 概率与面积，韦恩图（文氏图）韦恩图 样本空间=所有事件发生的集合（去重?） 样本空间 ={事件A1，事件A2，......} ={事件B1，事件B2，......} 不同维度的划分 概率 P（A1) = 面积比 = A占的面积 / 样本空间100%面积 正确的， p= 事件数/ 总事件数 错误的： p = p(A) / p()
概率的最初来源，我觉得应该是来自于 统计，频次统计 频次不等于概率，但是可以用来估计概率？比如极大似然估计估计等？ 1（后验的，统计的）频次 = 某事件发生次数/ 所有相关事件的发生次数总数，后验的统计的东西最重要的是总结规律，期待这个规则能指导以后的生活---其实就是预测，也就是 所谓的 经验指导未来。 2预测的理论模型，这个是需要的 （模型，理论分析）概率= 基础事件个数/总事件个数 3（先验的，用于预测）概率的= 事件发生的可能性/ 全部可能性100%=p ，有了先验的概率，则方便去演绎，推理等等，这么一套思考模型 4 信息进一步增加，（用新信息去修正老的概率）贝叶斯概率 条件概率公式： p(B|A) = p(AB) / p(A) bayes概率公式： p(B|A) = p(B)* p(A/ B) / p(A), 其中p(B)是老概率，而p(B|A)是修正后的概率。 5 对随机实验和事件的理解 5.1 随机实验 随机实验，只能是1次，或者多次如果是多个随机实验，那么这2个随机实验没关系实验不存在什么基础不基础，不再可以拆分，只有次数的差别很多一次实验，其实都是包含了多个维度的一次实验。比如有1个实验是，今天下雨/不下雨，另外1个实验是，今天下雨/不下雨 & 堵车/不堵车 5.2 事件 基本事件:就是针对某一个“目标事件”不可再分的最小事件？ / 一些不可再分的结果事件（目标事件）=一些结果 = 一些结果组成的集合事件空间: （全部是相对的）全部基础事件组成的空间 / 全部结果 =全部结果组成的集合，不同情况下的全部空间是不一样的，某些概率对应的全部空间是全部，某系概率对应的全部空间只是其中一部分对分母的理解很重要，事件空间是相对的，比如 p(A)=p(AB)/p(B) ，样本空间是 A,B所在的全部空间Ω（=A+B+...）p(A|B)=p(AB)/p(B) ，样本空间就是B 6 《测度论》据说《测度论》更能说明和理解概率，需要以后学习 下面这个图是转载的，不是我画的
定义概率，需要定义为 p(Ω，F，p) 其中Ω是样本空间（但是需要是是定义再哪儿的样本空间，即使是等可能的样本空间也可能又不同的标准，并不一样），Ω里是独立的基础事件 F 是Ω的所有各种子集的 集合，而我们平时讨论某个变量的概率期望等只会取其中一个子集，并且子集的取法不同，最终计算的概率也会不同。 p 是对基本事件的目标组合 （即使是一些等概率模型，不同的样本空间定义和变量选择，最终概率会不一样） 举例子 贝朗特悖论里，三种不同的概率结论就是，虽然都是等可能，但是概率空间Ω的定义不同导致最终概率也不同。所以这里必须定义清楚，否则可能会出现如下问题这种 几种方法概率不同。 概率论的学习和整理--番外9：关于贝特朗悖论的学习（没搞懂）_贝特朗箱子悖论_奔跑的犀牛先生的博客-CSDN博客贝特朗悖论_贝特朗箱子悖论下雨和堵车，独立事件，不互斥（现有知识条件下）可能同时发生 下雨和世界大战，独立事件， 下雨和摆摊，非独立事件，但是互斥？ 复杂事件往往多有多个事件构成的，这个往往跟我们人类提出的问题相关 目标问题是复杂的 = = 样本空间复杂 比如 下雨，堵车，这本身可以说是2个独立事件如果我们想要知道 p(明天下雨 & 堵车) =1/4可以做成下图的4方格（交叉图）来理解下雨 50% 不下雨 50% 堵车 50% 下雨&堵车 不下雨&堵车 不堵车 50% 下雨&不堵车 不下雨&不堵车 用图可以这么表示，这个过程
互斥的例子 一个指标内，比如性别里的男女是互斥的，比如年龄里的19和20，21等就都是互斥的 不可再分（很难再分）的划分维度下的属性下的不同分类 独立的例子 而性别，年龄，国家。这些不同维度里拿出的变量，就是独立的变量 复合维度划分 1 是中国男孩的概率是多少？2 是30岁女性的概率多少等等所以，从上面的例子看 1 互斥事件，看起来一定是一个不可再分（很难再分）的划分维度下的属性下的不同分类，比如性别，年龄等2独立事件，性别 & 年龄 & 国籍，考虑目标事件时需要结合考虑，计算时可以拆分考虑 比如要考虑 30岁女性，那么就需要结合起来考虑，但是计算时可以拆分 但是，显示结果时需要，结合考虑 p(30岁 & 女性)= p(30岁) * p(女性)8.2 两个独立事件，是否互斥？ 一定不互斥 如果2个事件独立，也就是存在一般意义的2个维度（属性维度）的事件，那么是否互斥，是不确定的比如，1个30岁人类，可能 是男性，或者是女性 抽象30岁人类这个属性，本身不会和 性别 互斥，他们是独立的但是任一个 具有 30岁属性的人类这个实验结果，可能是男性，也可能是女性 相互独立事件同时发生的概率P(AB) = P(A) *P(B) P(B|A)=P(B) 也就是独立事件的交集可能=0，也可能不=0 8.3 两个互斥事件，是否独立？ 互斥事件一定不独立 互斥的2个事件，一般就是指同一个（最小不可再分）属性维度下的2个事件互斥意味着，这2种事件结果不能同时发生，2个事件的交集=0互斥事件，一定不独立因为互斥事件，1个事件（结果）发生了，另外一个事件（结果）一定不发生，这2个事件是互相影响的，并且是不能同时存在的这种影响。 互斥的事件互相没有交集，计算概率时一般是相加，加法原则 9 概率的加法和乘法原理 9.1 加法法则应用于并列关系的事件概率加法，一般是用在独立事件概率 概率加法，对应加法原理 比如完成一件事有很多方法，每个方法都可以独立完成，完成这件事的概率 = 每种方法概率 累加 9.2 乘法法则应用于不相干关系的事件 概率乘法，一般是用在条件概率概率乘法，对应乘法原理比如完成一件事有很多步骤，每个方步骤都有一定概率，完成这件事的概率 = 每个步骤概率的累乘 10 一些概率例题 10.1 相比于国外教材千万别相信什么同济教材，浙大教材，懂得都懂 10.2 例题1红黄蓝三种颜色的小球各10个，每种颜色小球上分别从0到9标上数字。随机抽球。抽到红色偶数数字的球的概率是多少？ 用加法原理，一共五个球，抽到每个的概率1/30，五个1/30相加得1/6用乘法原理，抽到红色球概率10/30，其中抽到偶数数字概率5/10，相乘得1/6 10.3 例题2一共有五张卡a、b、c、d、e，抽一次，抽中卡a或b或c或d就算中奖，那么中奖的概率应当是0.8，抽中a的概率为0.2。 事件算法: 4/5加法原则：中奖概率1/5+1/5+1/5+1/5=4/5乘法原则：就一个步骤，第一个步骤中奖概率=4/5 10.4 例题3https://www.zhihu.com/question/381514613/answer/1270736936
https://zhidao.baidu.com/question/332991559.html?qbl=relate_question_2 现在4张奖券,其中只有一张有奖,4位同学不放回地抽取,若已知第一位同学抽后未中奖,则第三位同学也抽不到中奖奖券的概率答案2/3 P=1/4 第1人已经抽奖，且没中，样本空间等都变化了 用条件概率怎么表示？？？ p=1/3 整体看 第2人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖 第3人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖 第4人抽奖，1/3中奖, 2/3不中奖 |
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