§2.2.1椭圆的标准方程(1)――方程的建立[教学目标]

§2.2.1椭圆的标准方程(1)――方程的建立

[教学目标]

三、情感、态度与价值观：通过探究和合作交流，培养学生良好的互助意识。

一、创设情景

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1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程

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2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考

二、建构数学

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1、椭圆标准方程的推导

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.

设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，

那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).

又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.

由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛MㄏMF1+MF2=2a｝

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因为MF1=，MF2=

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所以得：+=2a整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).

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由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.

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令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：

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2、椭圆的标准方程：

标准方程

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不

同

点

图

形

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焦点坐标

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两轴上截距

(±a,0)与(0,±a)

(0,±a)与(±b,0)

相

同

点

定   义

平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于

常数（大于F1F2）的点的轨迹

a、b、c的关系

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焦点位置的判断

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

椭圆的一般方程：mx2+ny2=1    (m,n∈R+,m≠n)

三、数学运用

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1、例1. 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。

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分析:

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椭圆标准方程为：

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例2、已知方程(2-k)x2+ky2=2k-k2表示焦点在x轴上的椭圆，求k的范围

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解：原方程可以化为+=1，k>2-k>0,故1AC_____________________;(2)AC、BC所在直线斜率乘积为-__________

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   2、F1,F2为两个焦点，过F2的直线交椭圆于A、B两点，AB=5,则AF1+BF1=____

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   3、圆x2+y2=4上任意一点P作PA⊥x轴于A,PA的中点为M，则M的轨迹方程为______

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   4、已知x轴上一定点A(1,0),Q为+y2=1上的动点，求AQ的中点M的轨迹方程

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   5、F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A、B分别是椭圆与x轴的两个交点，P为椭圆上任意一点。求证：以PF2为直径的圆与以AB为直径的圆内切

[答案]

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1、(1)+=1，xb>0）上点到左焦点F距离的最值

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解：[方法一]设P(x,y)为椭圆上任意一点,则，PF2=(x+c)2+y2=x2+2cx+c2+b2(1-)=

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x2+2cx+a2在-a≤x≤a上单调增，x=-a时PF2min=(c-a)2,x=a时PF2max=(a+c)2,∴PFmax=a+c,PFmin=a-c反应在图上正好为长轴的两个顶点

[方法二]设P(acosθ,bsinθ),PF2=(acosθ+c)2+(bsinθ)2=c2cos2θ+2ca.cosθ+a2是cosθ的单调增函数，∴cosθ=-1时，PF2min=(c-a)2, cosθ=1时PF2max=(a+c)2,∴PFmax=a+c,PFmin=a-c 反应在图上正好为长轴的两个顶点

    思考：到右焦点距离呢？

四、回顾总结

标准方程

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图象

范围

对称性

顶点

长轴、短轴

离心率

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五、布置作业（A组题）课本第32页感受理解1、3、4、5、8

   [补充习题]

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1、(1)椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到中心的距离为3，则椭圆的标准方程为__________________

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(2)对称轴为坐标轴的椭圆焦点F1,F2在x轴上，短轴的一个短点为B,△BF1F2周长为4+2，∠BF1F2=300,则椭圆的方程为____________________

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2、椭圆x2+ky2=1(00）上到点B(0,b)距离的最值

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[解答] 1、（1）或；（2）;2、0;3、2

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4、+=1;  5、3或; 6、或;7、或

8*、设P(x,y),当P与B重合时，PB取得最小值为0，另有

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PB2=x2+(y-b)2=(1-)a2+y2-2by+b2=-y2-2by+a2+b2是y的二次函数，-b≤y≤b,不考虑定义域情况下函数的对称轴为y=;若≤b，当 y=时PB2max=;若>b，当 y=-b时PB2max=4b2

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总之，PBmin=0,PBmax=

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§2.2.2椭圆的几何性质(2)

教学目标：

教学重点、难点：离心率范围的拼凑、左边方法

教学过程：

一、复习引入

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三、体会从具体例子中抽象方法的过程

1、椭圆的性质复习

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2、练习教材P32练习题4，5

二、数学运用

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例1、设P是椭圆（a＞b＞0）不在长轴上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，(1)什么情况下，P对F1及F2的张角最大,并求此时张角的余弦值；(2)若∠F1PF2=90°，求椭圆的率心率e的范围

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解：(1)设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,cos∠F1PF2===-1,而mn≤=a2，cos∠F1PF2≥-1，等号成立当且仅当m=n=a,即：P(0,±b)时，∠F1PF2最大，此时cos∠F1PF2=-1

(2)设短轴的一个顶点为B, ∠F1BF2≥900，∠F1BO≥450，

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 e≥，则离心率的范围是≤e