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椭球面
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椭球面，又称椭圆球面，是二次曲面的一种，集合体椭球的表面，是二次曲面的第Ⅰ类曲面的一种。 
目录
1 标准方程
2 性质
3 方程特点
4 旋转椭球面
标准方程
椭球面的标准方程是 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}+{\dfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1} 其中， a , b , c > 0 {\displaystyle a,b,c>0} 是该椭球面的轴参数。 性质以下均在椭球面的标准方程中讨论。 对称性：椭球面是中心二次曲面，它的对称中心是原点 ( 0 , 0 , 0 ) T {\displaystyle (0,0,0)^{\text{T}}} ，对称直线是三个坐标轴，对称平面是三个坐标平面。 有界性：椭球面整体位于一个长方体中，有 | x | ⩽ a , | y | ⩽ b , | z | ⩽ c . {\displaystyle |x|\leqslant a,|y|\leqslant b,|z|\leqslant c.} 截面：平行于三个坐标平面截椭球面所得的曲线是椭圆。 方程特点二次曲面的一般方程是 F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 13 x z + 2 a 23 y z + 2 a 1 x + 2 a 2 y + 2 a 3 z + a 0 = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{1}x+2a_{2}y+2a_{3}z+a_{0}=0} 其中 a 11 , a 22 , a 33 , a 12 , a 13 , a 23 {\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{13},a_{23}} 不全为零。 当它是椭球面时有 I 2 > 0 , I 1 , I 3 > 0 , I 4 0,\quad I_{1},I_{3}>0,\quad I_{4} 特征根：椭球面的特征根全为正数，标准方程下的特征根是 1 a 2 , 1 b 2 , 1 c 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{a^{2}}},{\dfrac {1}{b^{2}}},{\dfrac {1}{c^{2}}}} ； 主方向：椭球面的三个主方向都是非奇异的，标准方程下的主方向是三个坐标轴； 渐近方向：椭球面没有渐近方向； 中心： r = R = 3 {\displaystyle r=R=3} ，椭球面是中心二次曲面，标准方程下的中心是原点； 主径面：椭球面有三个主径面，标准方程下的主径面是三个坐标平面。 旋转椭球面旋转椭球面是一种旋转面，也是椭球面，它是由椭圆 { x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 z = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\z=0\end{cases}}} 绕 x {\displaystyle x} 轴旋转所得的，标准方程是 x 2 a 2 + y 2 + z 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}+z^{2}}{b^{2}}}=1}空间中到两定点的距离之和相等的点的轨迹是旋转椭球面，实际上，如果设两定点为 ( a , 0 , 0 ) T {\displaystyle (a,0,0)^{\text{T}}} 和 ( − a , 0 , 0 ) T {\displaystyle (-a,0,0)^{\text{T}}} ，距离之和为 2 b {\displaystyle 2b} ，那么轨迹方程是 x 2 b 2 + y 2 + z 2 b 2 ( b 2 − a 2 ) = 1. {\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{b^{2}}}+{\dfrac {y^{2}+z^{2}}{b^{2}(b^{2}-a^{2})}}=1.} |
其中，
a
,
b
,
c
>
0
{\displaystyle a,b,c>0}
是该椭球面的轴参数。
性质
，对称直线是三个坐标轴，对称平面是三个坐标平面。
有界性：椭球面整体位于一个长方体中，有
|
x
|
⩽
a
,
|
y
|
⩽
b
,
|
z
|
⩽
c
.
{\displaystyle |x|\leqslant a,|y|\leqslant b,|z|\leqslant c.}
截面：平行于三个坐标平面截椭球面所得的曲线是椭圆。
方程特点
其中
a
11
,
a
22
,
a
33
,
a
12
,
a
13
,
a
23
{\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{13},a_{23}}
不全为零。
当它是椭球面时有
I
2
>
0
,
I
1
,
I
3
>
0
,
I
4
0,\quad I_{1},I_{3}>0,\quad I_{4}
特征根：椭球面的特征根全为正数，标准方程下的特征根是
1
a
2
,
1
b
2
,
1
c
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{a^{2}}},{\dfrac {1}{b^{2}}},{\dfrac {1}{c^{2}}}}
；
主方向：椭球面的三个主方向都是非奇异的，标准方程下的主方向是三个坐标轴；
渐近方向：椭球面没有渐近方向；
中心：
r
=
R
=
3
{\displaystyle r=R=3}
，椭球面是中心二次曲面，标准方程下的中心是原点；
主径面：椭球面有三个主径面，标准方程下的主径面是三个坐标平面。
旋转椭球面
绕
x
{\displaystyle x}
轴旋转所得的，标准方程是
和
(
−
a
,
0
,
0
)
T
{\displaystyle (-a,0,0)^{\text{T}}}
，距离之和为
2
b
{\displaystyle 2b}
，那么轨迹方程是
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