Scratch与数学的整合9

                        第9课        一元二次方程

一、探索新知

        1、只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫一元二次方程。形式为ax²+bx+c（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，该方程必须是整式方程。有两个实根，方程的实根个数取决于方程的次数（条件是方程的某一项不能有2个未知数，换成二元的也不行）。

        2、像一元一次方程一样，Scratch也能解一元二次方程吗？请大家思考一下。以前我说过方程化简后等号两边都有x时是解不了方程的。而实际上却有配方法、公式法、因式分解法、直接开平方法。∴我们不妨先了解一下这些方法的步骤。

（1）配方法：

整理：化为ax²+bx+c=0的形式（且a=1）

配方：方程两边同时加上c，并化为完全平方式

降次：等号左右两边开方

求实根：分解成两个方程，解出两个方程的实根（若等号右边位非负数）

（2）公式法：

整理：化为ax²+bx+c=0的形式

套入共识：将a，b，c代入△

求公式的值：化简△

求实根（把△中的“±”拆成“＋”“－”进一步整理求实根）（若公式的值是非负数）

（3）因式分解法：

整理：化为ax²+bx+c=0的形式

降次：因式分解成（a±x1）（b±x2）=0的形式（（其中有一项可以是单项式））

求实根（两个括号内的式子分别与“=0”合在一起求出x1，x2）（必须等号左边整理后能因式分解，且等号右边为0）

（4）直接开平方法：

整理：因式分解成（a±bx）²=0的形式（这里的0并非必须是0）

降次：等号两边同时开方

求实根：分解成两个方程，解出两个方程的实根（等号右边必须是非负数）

        首先来看（1）。开始你整理只是把等号左边的c变为-c（原方程c＜0同理）加减号发生了改变，用减法积木就可以了，但是如果a≠0怎么办？a≠0时，整理完方程后b，c等号右边的数都同除以a，有人可能会说：“再拿4块积木，分别是b÷a，c÷a，等号右边的数除以a，a÷a。”可a如果是分数呢？那就是“分数乘法”的问题了，首先分数就包含分子、分母，而且分子、分母都要参与运算，这时光a就要补上一些其他的积木了。可你再回过头去看，前面只对a，b，c做了询问并回答吧？开始也改变加减号了吧？无论c等于几，那都是一个过程，前面的每一步程序都直接影响到后面的程序，而程序又是“一去不复返”的，人家管你怎么样，一步代码与过程有矛盾最后编程都得报错。∴（1）肯定是用不了的。

        再看（2）根据前面的了解我们可以得知，就是知道了a，b，c后带入求根公式△=b²-4ac，再代入（-b±根号△）/2a直接计算就行了。但是与（1）相同的是，整理过程中c还是涉及到变号问题，当方程等号右边≠c时c还会改变绝对值。不过不管怎样，整理后等号右边都是0，直接跳过去这一小部分过程，直接确定整理后的a，b，c的值行不行。由于一元二次方程的形式是ax²+bx+c=0（a≠0，而且是整式方程），这样就首先确保了a，b，c可以直接确定。而Scratch中运算模块里有四则运算、开平方功能，这样我们就能继续解了。

        接着再看（3）。我们发现到，第一步整理就需要因式分解，不是所有的代数式都能因式分解，只有原方程所有项全整理完后，等号左边能因式分解且同时等号右边为0时才能用这个方法的，否则你就解不出来。也就是说因式分解法它不是万能的，况且Scratch具有局限性，功能没有人知道的广泛，连你人都不可能解出来，程序怎么可能实现啊？∴（3）也肯定用不了。

        最后看（4）。现在你会发现到，直接开平方法与其他方法不同：它是整理成（a±bx）²=0的形式。（a±b）²的结果是什么啊？a²±2ab＋c²。样子好像和那个配方法差不多，可配方法也实现不了Scratch编程啊？不过不用担心，我们这里实际的本质是“直接开方”，所谓“直接”就是我一次性把他解决了，那怎样才能一次性解决？只有（a±bx）²=0。∴（4）也是没有问题的。

二、想想议议

        现在我们知道了一元二次方程的解法，以及那些方法能用Scratch实现，哪些不能用Scratch实现。那如果不解一元二次方程，我还能知道两个未知数到底等于多少吗？同时又能得出什么结论？这就是一元二次方程根与系数的关系的问题了。

        通过前面的内容，我们可以推出x1+x2=（-b+根号b²-4ac）/2a+（-b-根号b²-4ac）/2a=-（2b/2a）=-b/a，即一元二次方程两根之和=-b/a，同理x1·x2=[（-b+根号b²-4ac）/2a]·[（-b-根号）/2a]，整理并化简得x1·x2=c/a，即一元二次方程两根之积为c/a。

三、流程图

        1、但是光知道公式法、直接开平方法解一元二次方程能用Scratch实现还不够，你总得有个理由吧？在编程中，过程就是最好的证明。

        2、我们先来看一下公式法：如图1所示：∵公式法就是通过算求根公式求解，△=b²-4ac吧？里面包含字符a，b，c，就说明第一步一定是要加入a，b，c。我们又知道，一元二次方程二次项系数不能为0，否则就没有意义，也就没有必要再往下执行了，∴第二步判断a≠0？如果a≠0则第三步代入△=b²-4ac。但要注意的是：这并不是最终答案，最终答案是要让程序解出x1，x2。小心这里有个陷阱：我有必要继续代入（-b±根号△）/2a继续执行程序吗？其实根本不需要，∵它是个判别式：当△＜0时，方程无实根，我可以提前结束这个脚本；当△=0时，两方程有一个相等的实根，代入（-b±根号△）/2a中得-b/2a；当△＞0时，方程有两个不等的实根，这是我就要把“±”拆开求x1，x2具体的实根了。最后程序结束。

        3、我们再来看直接开平方法。如图2所示：∵直接开平方法的原方程形式是（a±bx）²=0，而且它还是第一步就等号两边开方降次，∴第一步输入a，b，等号右边的数，与公式法一样，要对a≠0？进行判断，但直接开平方法还要对等号右边的数≥0？进行判断，同时为真才能继续执行程序，∵负数没有平方根。因此两判断同时为真时执行第三步，添加变量a，b，c从而让程序解出方程的实根。第四步，原方程降次到（a±bx）²=±根号c后，“拆成”a＋bx1=根号c和a±bx=-根号c分别变形为x1=（根号c-a）/b和x2=（-根号c-a）/2a，这样就可以执行第五步，求出x1，x2各自的结果，也就是程序最后的方程实根。此时程序结束。

四、变量信息

        a、b、c、x1、x2、d、原方程的实根、原方程降次后的值、△、x1+x2、x1x2、根与系数的关系1、根与系数的关系2

五、代码示例

        1、我们先看看如何让Scratch实现用公式法解一元二次方程：

        （0）——（2）：首先需要询问并回答原方程的二次项系数。

当绿旗被点击    （0）

 询问请输入a    （1）

将a设为回答    （2）

        （3）——（6）：当a=0时，∵方程无意义会导致程序报错，∴要对a的值进行判断，不报错程序才会一直进行。

如果a=0那么    （3）

说：“二次项系数不为0，原方程无意义。” 2秒    （4）

等待1秒    （5）

停止这个脚本    （6）

        （7）——（12）：程序怎么继续运行？当然是把原方程其余要知道的一次项系数、常数项也要让程序知道啦  ，即目标为实现变量b，c。

询问请输入b    （7）

将b设为回答    （8）

询问请输入c    （9）

将c设为回答    （10）

等待1秒    （11）

将△设为b²-4ac    （12）

       （13）——（26）： 接下来利用判别式对方程的实根进行判断了。当△＜0时让程序知道方程无实根；当△=0时把x1，x2等量代换成x；当△＞0时把方程两实根拆成x1=（-b-根号4ac）/2a，x2=（-b+根号4ac）/2a。

如果△=0那么    （13）

说：“△=0，原方程有两个相等的实根”2秒    （14）

等待1秒    （15）

将原方程的实根设为-b/2a    （16）

说：“连接原方程的实根为和原方程的实根”    （17）

否则    （18）

如果△＞0    （19）

说：“△＞0，原方程有两个不相等的实根”2秒    （20）

等待1秒    （21）

将x1设为（-b²-4ac）/2a    （22）

将x2设为（-b²+4ac）/2a    （23）

说：“连接连接原方程的实根为x1=x1和x2=和x2”    （24）

否则    （25）

说：“△＜0，原方程无实根”    （26）

        2、接下来再看看如何让Scratch实现用直接开平方法接一元二次方程。

当绿旗被点击

        和公式法一样，直接开平方法也是要让程序知道要执行变量a，b，由于等号右边的数等于0不是绝对的，∴我们用d来代替它。

询问请输入a

将a设为回答

询问请输入b

将b设为回答

询问请输入d

将d设为回答

        接下来这部分，与公式法相同于直接开平方法也要判断a是否大于0，同理开了负数平方根也会报错，∴还要判断d是否为负数。

如果a=0不成立与d＜0不成立那么

将x1设为（d²-a²）÷b

将x2设为（d²+a²）÷b

说：“连接连接原方程的实根为x1=和x1，x2=和x2”

        3、为了方便，在实现求根与系数的关系的时候，先从上面两种程序中选一个来实现，这样就不用太多思考了，前提是不能有任何变量显示NaN（意为数据无效）或空着。

当绿旗被点击

如果x1=0不成立与x2=0不成立那么

将根与系数的关系1设为-b/a

将根与系数的关系2设为c/a

说：“连接连接连接根与系数的关系是x1+x2=和根与系数的关系1和，和x1x2=根与系数的关系2”

六、知识扩展

        除了实数之外，还有比实数更大的数系：复数系。实数与虚数统称为负数，虚数可以理解为不存在的数，其中i是虚数单位，a是实部，b是虚部，形式为a+bi。∵bi表示b与i相乘，且符合实数中的单项式乘单项式的运算法则，又i²=-1可进一步推出i=±i，∴如果我们把一元二次方程的实数根看成b的一个整体，那么有一元二次方程的复数解：[（-b±根号4ac）/2a]i。我们发现到他恰好比一元二次方程的实数根多了一个i，∴我们要用Scratch实现求一元二次方程的复数解的话，只要在（-b±根号4ac）/2a的基础上再拿出来一个乘法积木，里面填上“-1”就可以了（前提是要有“复数解”变量、前面有“将“复数解设为-1”的代码），另外还要注意-1应该在最里面。