电磁学1

2024-07-05 15:04| 来源: 网络整理| 查看: 265

数学场论目录前言：知识点快速总结1.对标量函数操作（没有单位矢量x、y、z组成的分量）偏导数、梯度、方向导数2.对矢量函数操作（含有单位矢量x、y、z组成的分量）通量与散度、环流量与旋度一、场的基本概念1.标量场：2.矢量场：3.矢量运算4.哈密顿算子5.偏导数：标量6.方向导数：标量7.梯度：矢量二、通量源、通量(标)、散度(标)1.通量公式：标量2.散度公式：标量3.高斯公式（即散度定理）：场的定理1 三、漩涡源、环流量(标)、旋度(矢）1.环流量公式：标量2.旋度公式：矢量3.斯托克斯公式（即旋度定理）：场的定理24.空间曲线积分与路径无关四、平面环流量(标)、平面旋度(矢）1.平面环流量（标量）：2.平面旋度公式（矢量）：3.格林公式：场的定理34.平面曲线积分与路径无关五、场的分类1.理解梯无旋，旋无散2.关于物理中静电场、静磁场的描述：3.散度物理意义4.旋度物理意义

前言：知识点快速总结 1.对标量函数操作（没有单位矢量x、y、z组成的分量）偏导数、梯度、方向导数

偏导数：标量——由标量函数求偏导得到梯度函数：矢量——由三个偏导数组成、带入坐标可求某点梯度方向导数：标量——梯度向量点积那个方向的单位向量（方向余弦）

2.对矢量函数操作（含有单位矢量x、y、z组成的分量）通量与散度、环流量与旋度

散度：标量——是分量求偏导数之后的和旋度：矢量——是分量的偏导数的差组成的向量（行列式）

散度点积，等于对面积分，描述场旋度叉积，等于对线积分，产生场

高斯公式（散度定理）：对矢量在矢量面积分通量=封闭曲面对坐标的曲面积分=对曲面围成立体的散度的三重积分

斯托克斯公式（旋度定理）：对矢量在矢量线上积分环流量=空间封闭曲线对坐标曲线积分=对空间曲线围成面旋度的二重积分

一、场的基本概念 1.标量场：

空间内的每个点对应一个u(x,y,z)、u(x,y,z, t)的数值，但没有方向，给坐标算出来大小 ——例如:温度场,值域就是一个个数,可以组成的函数 ——宏观可以通过等值面或等值线来描述 ——微观可以梯度来研究

2.矢量场：

到处都是矢量，空间内的每个点对应一个矢量F，既有大小又有方向，给坐标能算出来大小 ——例如：游泳池中水的速度F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 值域是一个个矢量，可以做成函数 ——宏观可以用每个点的矢量线来描述，比如正电荷指向负电荷的电场线，磁体的磁力线 ——微观可以用散度或旋度来研究

3.矢量运算

矢量本身就是模拟生活中的有方向的量之间的共同作用加减法点积：投影之后乘积 ——反映了两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似叉积 ——垂直所在平面，大小等于面积，越靠近正交结果越大在这里插入图片描述

4.哈密顿算子

i,j,k三个矢量是三个坐标轴上的单位矢量一般会给矢量在坐标轴上的各个分量，即一个矢量函数表达式与算子运算在这里插入图片描述

5.偏导数：标量

（先用平面截取得到曲线，再求曲线导数）描述多元函数沿坐标轴的变化率偏导数

6.方向导数：标量

计算：方向导数函数=梯度函数（由fx、fy、fz三个偏导数）点积方向余弦（即单位方向向量）方向导数函数带入具体的坐标得到该点方向导数在这里插入图片描述

理解：（用任意方向的平面截取）一元函数求导数是描述在线上的点在坐标轴方向的变化率二元函数求偏导数是描述面上的点在坐标轴方向的变化率二元函数求方向导数描述多元函数上的点沿着任意一个指定方向的变化率

求方向导数最大值：梯度是一个矢量指代一个方向，沿着这个方向多元函数变化率最快即方向导数最大即沿着梯度的方向，方向导数取最大值且最大值为梯度的模

7.梯度：矢量

计算：函数对三个变量求偏导得到梯度向量函数，带入某个点的坐标得到该点的梯度向量（具体数值） $[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-21MOExd4-1616595470547)(C:\Users\熊\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210324171100695.png)]$

理解：梯度指向标量场函数值增大的方向在这里插入图片描述

二、通量源、通量(标)、散度(标) 1.通量公式：标量

通量：是单位时间内流过曲面的流量，例如：穿过面的电场线、磁场线的根数计算方法：矢量分量与微元分量垂直的乘积结果 1、矢量通过平面的通量是垂直于平面的分量乘以平面面积 2、矢量通过曲面的通量是曲面表面的向量场在曲面法向量上的乘积的积分，也就是对坐标的曲面积分举例：磁通量是标量，磁感应强度和面积是矢量，平面的磁通量是垂直平面的磁场强度与平面的乘积。

矢量点积推导结果：第二类曲面积分，对坐标的曲面积分在这里插入图片描述

2.散度公式：标量

计算：一个矢量沿坐标轴的三个分量分别对三个方向求偏导为什么散度是这个表达式？在注里面有通过小立方体推导散度的表达式

理解：某一点的散度代表向量场中这点（是小立方体，不是面的微元）的向量总值是流入还是流出

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3.高斯公式（即散度定理）：场的定理1

条件：1.封闭，不封闭则不能用高斯公式 2.外侧 3.三个偏导为常数理解：通量推导：通过封闭曲面的通量=通过封闭曲面围成立体的通量代数和=通过立体内的小立方体的通量的和=立方体内每一点的散度和

当封闭曲面体积无限小即一点（小立方体），这一点通量就是这一点的散度，如果不封闭就不能用小立方体的通量代替表面的通量。

散度是一种给出三维坐标就能确定大小的标量，类似三重积分给出立体的体密度f(x,y,z)可以求立体的质量。

记忆：矢量对封闭曲面的第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）等于散度对曲面围成立体的三重积分，其中cosa、cosb,cosr是曲面上的点的法向量的方向余弦

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三、漩涡源、环流量(标)、旋度(矢） 1.环流量公式：标量

路径积分：矢量分解成沿着这条线的分量乘以路径长度例如：匀强电场中Elcosaz作用是电势差环流量描述矢量沿封闭曲面的边界转了一圈的矢量的投影的总和

矢量点积推导结果如下：第二类曲线积分，矢量对空间封闭曲线的第二类曲线积分 $[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CnvEBUMJ-1616595470566)(C:\Users\熊\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210324170628544.png)]$

2.旋度公式：矢量

计算：矩阵计算出来的三个偏导相减的式子

理解：旋度描述矢量场中某点微元在矢量场中的旋转程度，描述一个小曲面的边界上沿着这个边界转了一圈的矢量的投影的总和旋度的方向

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3.斯托克斯公式（即旋度定理）：场的定理2

理解记忆：

环流量推导：通过封闭曲线的环流量=通过封闭曲线围成面的环流量=通过封闭曲面内的小环流量的和=曲面内每一点的旋度和

格林公式的推广，矢量对空间封闭曲线的第二类曲线积分等于旋度对空间曲线围成面的二重积分

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4.空间曲线积分与路径无关

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四、平面环流量(标)、平面旋度(矢） 1.平面环流量（标量）：

矢量场对平面内的闭合曲线的第二类曲线积分，对平面坐标的曲线积分 $[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CcXLvVKd-1616595470552)(C:\Users\熊\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210324170742915.png)]$