为什么样本标准差分母为n

2024-07-15 21:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

我们知道总体标准差（σ）是按照下面的公式来计算的：

但是在真实世界中，找到一个总体的标准差是不现实的。大多数情况下，我们都是通过计算样本标准差（s）来估计总体标准差（σ）的。但是s的计算公式是这样的：

分母为什么要（n-1）呢，而不是n？

维基百科给出的解释有点费解：

看过很多统计学的教程和问答，一个比较利于理解的通俗的解释是：__ 分母为n的话算出来的s会低估总体标准差（σ）。__

下面用MATLAB编程来证明这一点。大体是，我们随机生成1000个整数作为总体，然后从这个总体里抽取100个数，作为1个sample，共抽取1000个sample。然后我们用两种方式计算一下这个sample的标准差，即分母为n-1或者n，然后我们数一下这两种计算方式得到的s低于总体标准差（σ）的个数，这里我们统计1000次的结果，代码在最后面。结果如下图，果不其然，分母为n的时候会较多的低估总体标准差（1000个sample平均有550个低估了总体标准差），而分母为（n-1）的时候基本大差不差（1000个sample基本有一半低估，一半高估）。

代码如下,可直接copy运行：

%% 总体（1000个1-100之间的整数）,总体均值和总体标准差 population = [1:1000] mean_population = mean(population); sigma_population =sqrt(sum((population-mean_population).^2)/1000); %% 统计1000次结果，每次1000个sample，看有多少次标准差低估总体标准差的 No_underestimate = []; No_underestimate_real = []; for m = 1:1000 sigma_sample = []; real_sigma_sample = []; %随机取1000次sample for i = 1:1000 %从population里随机选取100个数作为sample idx_sample = randi(1000,100,1); sample = population(idx_sample); %样本的均值和“标准差（分母不减一）” mean_sample = mean(sample); sigma_sample = [sigma_sample sqrt(sum((sample-mean_sample).^2)/length(sample))]; %样本的标准差，分母减一 real_sigma_sample = [real_sigma_sample sqrt(sum((sample-mean_sample).^2)/(length(sample)-1))]; end %分母不减一求样本标准差时候低估总体标准差的个数 No_underestimate =[No_underestimate length(sigma_sample(sigma_sample

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