【数学笔记】极限的定义与性质 – Machine World

    “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

利用反证法证明：\(\begin{align} &设A >B \\&取 \epsilon = \frac{a-b}{2} > 0 \\& 因为\lim_{n \to \infty}a_n = A 因此 N > 0,当n > N1时, |a_n – A| < \frac{A-B}{2} \\& \frac{A+B}{2} < a_n < \frac{3A-B}{2} (*) \\&而\lim_{n \to \infty}a_n = B 同理也有 \frac{3B-A}{2} < a_n < \frac{A+B}{2}(**)\\&取N=max\{N1,N2\},当n > N时,（*）（**）都成立 \\ & 但通过观察,这样的N值并不存在,故假设矛盾,同理证得A < B同样矛盾。\\&故 A = B \end{align}\)

证明：\( \begin{align} &①假设A>0 \\ &取\epsilon = \frac{A}{2} > 0 \\&因为:\lim_{n \to \infty}a_n = A \\& 所以: \exists N>0 当n > N时,|a_n – A| < \frac{A}{2} \Rightarrow a_n > \frac{A}{2} \Rightarrow a_n > 0 \\&②假设A < 0 \\&取\epsilon = -\frac{A}{2} > 0 \\& 同理 \exists N >0 |a_n -A| < -\frac{A}{2} \Rightarrow a_n < \frac{A}{2} \Rightarrow a_n < 0 \end{align}\)

\(x \to a\begin{cases}x \to a^- \\ x \to a^+\end{cases}\)

\(0 < |x-a| < \delta \Rightarrow x \subseteq (a-\delta,a) \cup (a, a+\delta)\)

             \(\begin{align} &若\forall \epsilon > 0，\exists \delta > 0，当x\subseteq(a,a+\delta)时\\ &|f(x) – B| 0，\exists X > 0 ，当 x > X时 \\ &有    |f(x) – A| < \epsilon \\ &则有：   \lim_{x \to +\infty}f(x) = A \end{align}\) \( \begin{align} &若\forall \epsilon > 0，\exists X > 0 ，当x < -X时 \\ &有    |f(x)-A| < \epsilon   \\ &则有：   \lim_{x \to -\infty}f(x) = A \end{align}\) \(\begin{align}  &若\forall \epsilon > 0，\exists X>0，当|x| > X时 \\ &有|f(x) -A| < \epsilon \\&则有： \lim_{x \to \infty}f(x) = A\end{align}\) 性质：（两种情况都成立，无论是自变量趋于有限值还是无穷大） 唯一性： \(\lim f(x) = A，\lim f(x) = B \Leftrightarrow A = B\) 保号性： \(\begin{align} & \lim_{x \to a}f(x) = A\begin{cases} A >0 \\ A 0,当0 < |x – A| < \delta 时 \\ & f(x)\begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) < 0 \end{cases} \end{align}\)

证明：