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从前有棵树,叫做高树(高数),上面挂了很多人;从前有座坟,叫做微积坟(微积分),里面埋了很多人。 首先声明一下,这么多天没更这个系列真的不是因为up咕咕了,up在这些天里看了一下这个系列的阅读量,发现阅读量相对较少(相比于up的其他文章),然后up分析了一下原因,这次也准备换一种风格写作,或许大家可以更容易地接受。 先放一个传送门(上一期): 上一期咱们扯了扯函数(虽然基本上是归纳), 那么这期讲点别的(重点!不过好像微积分哪儿都是重点), 本文内容: 瞬时速度与极限的定义 导数的定义与几何意义 求导步骤与导函数 一、瞬时速度与极限的定义 1.平均变化率 平均变化率是这样定义的:已知函数y=f(x),x₁,x₂是其定义域内不同的两点, 式子[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率。 令Δx=x₂-x₁,则可把Δx看作是该函数在这个区间上相对于x₁的一个“增量”,然后我们把x₂用x₁+Δx来代替;同理Δy=f(x₂)-f(x₁)。于是,平均变化率可以表示成Δy/Δx。 图:平均变化率注意:1.Δx,Δy都是整体符号,并不是Δ与x,y相乘,千万别在写Δy/Δx时把小三角形约掉了,不然被老师打死,up可不负责的哦。 2.Δx,Δy的值都是可正可负的,并不一定是大减小,且Δx不为零(因为要做分母)。当f(x)是常数函数时,Δy为零。 2.瞬时速度 相信在座的各位都知道高速上是要测速的。这个测速分两种,一种是测瞬时速度,另一种是测平均速度(即区间测速)。然后往往就有了这样那样的对话: ————我一直开的很慢,只是在这里稍微提了一下速而已! ————不管怎么样,你的瞬时速度太快了! 或是: ————你看我开得这么慢,怎么可能超速呢? ————区间测速的牌子看到了么! ————这………… 我们都知道,做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不一样der~于是我们就把物体在某一时刻的速度称作瞬时速度。对于函数来讲,相似的定义就是瞬时变化率(导数)。 不知道看到这里的你有没有冒出一个问题:这不是矛盾了吗? 变化率怎么求?Δy/Δx。瞬时怎么讲?Δx等于0。但是0不能做分母啊! 别着急,等我们讲完了极限和导数再来讲这个问题。 3.极限 定义,其中第一行的R指实数集其实简单讲就是这样:极限是一个值,当函数的自变量无限接近于极限处的取值时,因变量也会无限接近于极限。求瞬时变化率,也就是求当Δx趋近于0时Δy/Δx的值。但可惜的是,在求瞬时变化率时,你永远也不能让Δx等于0,毕竟它也是一个分母。 注意:极 限 不 是 等 于 。 所以,你的怀疑是对的,只不过数学家用很巧妙的办法解决了它。数学家的方法说白了就是,我先算(把Δx当作不为零的常数),算到最后不用作除法了,再让Δx等于0,把它省去。 二、导数的定义与几何意义 1.导数的定义,几何意义 其实导数的定义和瞬时速度有异曲同工之处,我们来看一看: 书上的定义比起这个定义,我相信导数的几何意义更好理解。毕竟我到现在也背不出上面那一长串文字,但几何意义我却能说出来(数形结合果然是个好东西)。 先上图: 图:导数当点P沿着这条曲线无限接近点P₀时(即Δx→0时),割线PP₀有一个极限位置PT。直线PT就是曲线在点P处的切线。函数f(x)在点x₀处的导数的几何意义就是曲线上过点x₀的切线的斜率。 2.问题的解决(不想看的可以直接跳第三节) 现在让我们正视这个问题吧。 瞬时变化率本身的描述其实是有漏洞的(不过教科书上都这么写) “瞬时”意味着我们截取了一个瞬间;“变化率”意味着我们至少需要两个时间点来计算。 换句话说,真正的“瞬时速度”,“瞬时变化率”都是无法精确计算的,因为我们根本不知道它是什么东西。 即使在几何上这条切线始终存在,也别忘了切线的定义,这条曲线与这条直线只有一个交点,一个!仅凭这一个点是无法得出变化率的! 然后你就会问:这玩意儿不是不能算吗,为什么我们照着算会有一个答案呢? 事实上,我们所得到的结果,并不是“瞬时变化率”,而是一种近似的结果,它应该叫做“变化率的近似”而并非“瞬时变化率”。在生活中,也是这样处理的,汽车的仪表盘上的速度显示,就是截取很小的一段时间,在这段时间里汽车走了很小的一段距离,于是就利用这两个数据来计算汽车的速度。同样的,公路的测速也是这样处理的(下次你或你的身边人被扣分时记得提醒说明哦,测速仪是无罪的)。 至此,问题解决了。 三、求导数步骤与导函数 1.求函数y=f(x)在点x₀处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀); (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数f ’(x₀) 2.导函数 从求函数f(x)在x=x₀处的导数的过程中可以看到,当x=x₀时,f '(x₀)是一个确定的值。当x变化时,f '(x)的值也会连续地变化,则f '(x)就是x的一个函数,我们称它是f(x)的导函数,有时也记作y’。但是这玩意儿的简称也是“导数”,所以看到时一定要分清! P.S.一般放整个函数出来说求导数的就是指导函数,带上点的就是上面的那个导数 注意:导函数是一个变量,但上面那个导数是一个常数,有具体值。 总结: 1.式子[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率。 2.物体在某一时刻的速度称作瞬时速度。 3.极限是一个值,当函数的自变量无限接近于极限处的取值时,因变量也会无限接近于极限。 4.导数的定义(看图) 5.函数f(x)在点x₀处的导数的几何意义就是曲线上过点x₀的切线的斜率。 6.所得到的结果,并不是“瞬时变化率”,而是一种近似的结果,它应该叫做“变化率的近似”而并非“瞬时变化率”。 7.求函数y=f(x)在点x₀处的导数的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀); (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数f ’(x₀) 8.从求函数f(x)在x=x₀处的导数的过程中可以看到,当x=x₀时,f '(x₀)是一个确定的值。当x变化时,f '(x)的值也会连续地变化,则f '(x)就是x的一个函数,我们称它是f(x)的导函数,有时也记作y’。 那么这次的内容就到这里了,如果满意的话: 给这篇文章三连,要么就点个赞,再给up点个关注(^U^)ノ (up是全能,不定期更新,但断更绝不超过5天) up的所有文章都是可以摘编转载的哦!满意就拿走。 最后再感谢诸位读到这里: Thanks♪(・ω・)ノ |
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