导数与偏导

函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的导函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的定义如下所示： 该公式是指，当 ∆ x ∆x ∆x 无限接近0时， f ′ ( x ) f'(x) f′(x)最接近的值是多少。

例如：

当 f ( x ) = 3 x f(x) = 3x f(x)=3x 时，

当 f ( x ) = x 2 f (x) = x^2 f(x)=x2 时， 常用的求导公式有： ( k ) ′ = 0 、 ( k x ) ′ = k 、 ( x k ) ′ = k x k − 1 、 ( e x ) ′ = e x 、 ( e − x ) ′ = − e − x (k)'=0、(kx)'=k、(x^k)'=kx^{k-1}、(e^x)'=e^x、(e^{-x})'=-e^{-x} (k)′=0、(kx)′=k、(xk)′=kxk−1、(ex)′=ex、(e−x)′=−e−x（k为常数）

另一种表示方法： f ′ ( x ) = d y d x f'(x) = \frac{dy}{dx} f′(x)=dxdy​

由于导函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 表示切线斜率，故：当函数f(x)在x = a处取得最小值时，f’(a) = 0。

(1) 𝑦 = 𝑐 𝑦 = 𝑐 y=c（常数） 则： 𝑦 ′ = 0 ， 𝑑 𝑦 = 0 𝑦′=0，𝑑𝑦=0 y′=0，dy=0

(2) 𝑦 = x a 𝑦 = x^a y=xa ( a a a为实数) 则： 𝑦 ′ = a x a − 1 ， d y = a x a − 1 d x 𝑦′ = ax^{a-1}，dy = ax^{a-1}dx y′=axa−1，dy=axa−1dx

(3) y = a x y= a^x y=ax 则： y ′ = a x ln ⁡ a ， d y = a x ln ⁡ a 𝑑 𝑥 y′ = a^x\ln{a}，dy=a^x\ln{a}𝑑𝑥 y′=axlna，dy=axlnadx 特例: ( e x ) ′ = e x ， d ( e x ) = e x d x (e^x)' = e^x，d(e^x) = e^xdx (ex)′=ex，d(ex)=exdx

(4) y = log ⁡ a x y=\log_ax y=loga​x 则： 𝑦 ′ = 1 𝑥 ln ⁡ 𝑎 ， d y = 1 𝑥 ln ⁡ 𝑎 d x 𝑦′ = \frac1{𝑥\ln𝑎}，dy=\frac1{𝑥\ln𝑎}dx y′=xlna1​，dy=xlna1​dx 特例: 𝑦 = ln ⁡ 𝑥 ， y ′ = 1 x ， d y = 1 x d x 𝑦 = \ln{𝑥}，y′ = \frac1x，dy = \frac1xdx y=lnx，y′=x1​，dy=x1​dx

(5) y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx 则： y ′ = cos ⁡ 𝑥 ， d ( sin ⁡ 𝑥 ) = cos ⁡ x d x y' = \cos 𝑥，d(\sin 𝑥) = \cos xdx y′=cosx，d(sinx)=cosxdx

(6) 𝑦 = cos ⁡ 𝑥 𝑦 = \cos𝑥 y=cosx 则： 𝑦 ′ = − sin ⁡ 𝑥 ， 𝑑 ( cos ⁡ 𝑥 ) = − sin ⁡ 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\sin𝑥，𝑑(\cos𝑥) = −\sin𝑥𝑑𝑥 y′=−sinx，d(cosx)=−sinxdx

(7) 𝑦 = tan ⁡ 𝑥 𝑦 = \tan𝑥 y=tanx 则： 𝑦 ′ = 1 c o s 2 𝑥 = s e c 2 𝑥 ， 𝑑 ( tan ⁡ 𝑥 ) = sec ⁡ 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{cos^2𝑥} = sec^2𝑥，𝑑(\tan𝑥) = \sec^2𝑥𝑑𝑥 y′=cos2x1​=sec2x，d(tanx)=sec2xdx

(8) 𝑦 = cot ⁡ 𝑥 𝑦 = \cot𝑥 y=cotx 则： 𝑦 ′ = − 1 s i n 2 𝑥 = − c s c 2 𝑥 ， 𝑑 ( cot ⁡ 𝑥 ) = − csc ⁡ 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{sin^2𝑥} = −csc^2𝑥，𝑑(\cot𝑥) = −\csc^2𝑥𝑑𝑥 y′=−sin2x1​=−csc2x，d(cotx)=−csc2xdx

(9) 𝑦 = sec ⁡ 𝑥 𝑦 = \sec𝑥 y=secx 则： 𝑦 ′ = sec ⁡ 𝑥 tan ⁡ 𝑥 ， 𝑑 ( sec ⁡ 𝑥 ) = sec ⁡ 𝑥 tan ⁡ 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sec𝑥\tan𝑥，𝑑(\sec𝑥) = \sec𝑥\tan𝑥𝑑𝑥 y′=secxtanx，d(secx)=secxtanxdx

(10) 𝑦 = c s c 𝑥 𝑦 = csc𝑥 y=cscx 则： 𝑦 ′ = − csc ⁡ 𝑥 cot ⁡ 𝑥 ， 𝑑 ( csc ⁡ 𝑥 ) = − csc ⁡ 𝑥 cot ⁡ 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\csc𝑥\cot𝑥，𝑑(\csc𝑥) = −\csc𝑥\cot𝑥𝑑𝑥 y′=−cscxcotx，d(cscx)=−cscxcotxdx

(11) 𝑦 = arcsin ⁡ 𝑥 𝑦 = \arcsin𝑥 y=arcsinx 则： 𝑦 ′ = 1 1 − x 2 ， 𝑑 ( arcsin ⁡ 𝑥 ) = 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{\sqrt{1-x^2}}，𝑑(\arcsin𝑥) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=1−x2 ​1​，d(arcsinx)=1−x2 ​1​dx

(12) 𝑦 = arccos ⁡ 𝑥 𝑦 = \arccos𝑥 y=arccosx 则： 𝑦 ′ = − 1 1 − x 2 ， 𝑑 ( arccos ⁡ 𝑥 ) = − 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}，𝑑(\arccos𝑥) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=−1−x2 ​1​，d(arccosx)=−1−x2 ​1​dx

(13) 𝑦 = arctan ⁡ 𝑥 𝑦 = \arctan𝑥 y=arctanx 则： 𝑦 ′ = 1 1 + x 2 ， 𝑑 ( arctan ⁡ 𝑥 ) = 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{1+x^2}，𝑑(\arctan𝑥) = \frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=1+x21​，d(arctanx)=1+x21​dx

(14) 𝑦 = arccot  𝑥 𝑦 = \text{arccot}\space𝑥 y=arccot x 则： 𝑦 ′ = − 1 1 + x 2 ， 𝑑 ( arccot  x ) = − 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{1+x^2}，𝑑(\text{arccot}\space x) =-\frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=−1+x21​，d(arccot x)=−1+x21​dx

(15) 𝑦 = sh ⁡ 𝑥 𝑦 = \sh𝑥 y=shx 则： 𝑦 ′ = ch ⁡ 𝑥 ， 𝑑 ( sh ⁡ 𝑥 ) = ch ⁡ 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \ch𝑥，𝑑(\sh𝑥) = \ch𝑥𝑑𝑥 y′=chx，d(shx)=chxdx

(16) 𝑦 = ch ⁡ 𝑥 𝑦 =\ch𝑥 y=chx 则： 𝑦 ′ = sh ⁡ 𝑥 ， 𝑑 ( ch ⁡ 𝑥 ) = sh ⁡ 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sh𝑥，𝑑(\ch𝑥) = \sh𝑥𝑑𝑥 y′=shx，d(chx)=shxdx

有两个以上的自变量的函数称为多变量函数。

求导的方法也同样适用于多变量函数的情况。但是，由于有多个变量，所以必须指明对哪一个变量进行求导。在这个意义上，关于某个特定变量的导数就称为偏导数。

例如，让我们来考虑有两个变量 x、y 的函数 z = f(x, y)。只看变量 x， 将 y 看作常数来求导，以此求得的导数称为“关于 x 的偏导数”。

光滑的单变量函数 y = f (x) 在点 x 处取得最小值的必要条件是导函数在该点取值 0，这个事实对于多变量函数同样适用。例如对于有两个变量的函数，可以如下表示。 根据上述 (1)，函数取得最小值的必要条件是 x = 0，y = 0。此时函数值 z 为 0。由于 z = x 2 + y 2 ≥ 0 z = x^2 + y^2 ≥ 0 z=x2+y2≥0，所以我们知道这个函数值 0 就是最小值。

《深度学习的数学》 《AndrewNG机器学习笔记v5.4—黄海广》