人工智能数学基础6：极限、极限运算、ε

极限：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”

ε-δ（epsilon-delta）语言：epsilon-delta语言是用来描述函数极限的语言，其描述如下： 对于任意ε＞0，存在δ＞0，当0＜丨x-x0丨＜δ时，有丨f(x)-L丨＜ε。即x无限靠近x0时则函数f（x）的极限为L，记为：

ε-N语言：用于描述数列的极限，其描述如下： 所谓xn→x，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|x0 时， f(x)和g(x) 均为无穷小量。若 limf(x)/g(x)=1，则称 f(x)和g(x) 是等价无穷小量，记作 f(x)~g(x) （x一>x0）。

当α为实数时：

定理： 如果f(x)≥g(x)，而limf(x)=A，limg(x)=B，那么A≥B。

上图红线左边的级数是收敛的，右边的级数是发散的，当然红线两边的级数之间还可以在两区插入更多符合条件的级数。

连续的定义1： 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果： 那么称函数f（x）在点x0连续。

连续的定义2： 定义1与下述定义等价： 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 那么称函数f（x）在点x0连续。用‘ε-δ’语言表示如下： f(x)在点x0连续等价于∀ε>0，∃δ>0，当|x-x0|x0+时limf(x)=f(x0+)存在且等于f(x0)，即 f(x0+)=f(x0)， 那么就说函数f(x)在点x0右连续。

区间连续的定义： 如果在区间的每点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

区间连续的定义： 如果在区间的每点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

一致连续性：闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。 所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|x0时lim f(x)存在，但x—>x0时limf(x)≠f(x0)

那么函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。

x0为函数f(x) 的间断点，则间断点有如下类型：

以上间断点类型中，如果x0为间断点且函数在x0处存在左极限和右极限，则称x0为第一类间断点，其中左右极限相等的间断点则为可去间断点，不等则为跳跃间断点，其他间断点称为第二类间断点。