使用洛必达法则的条件 什么时候能用洛必达法则

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具体回答如图：

证明中，在x和一个接近a的值b之间利用柯西中值定理就是合理的，然后再让b和x同时趋向a。

两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。

详细说明

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

在求取函数的极限时,洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/0和∞/∞两种情况，具体如下：

①0/0型：

例：x➔0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型,因为x➔0时,分子(tanx-x)➔0,分母x-sinx➔0】

=x➔0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x➔0lim(sec²x-1)/(1-cosx)=x➔0limtan²x/(1-cosx)【还是0/0型,继续用洛必达】=x➔0lim[(2tanxsec²x)/sinx]=x➔0lim(2sec³x)=2

②∞/∞型

例：x➔(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x➔(π/2)时tanx➔+∞,tan3x➔-∞,故是∞/∞型】

=x➔(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x➔(π/2)lim[(sec²x)/(3sec²3x)]=x➔(π/2)lim[(cos²3x)/3cos²x]【0/0型】

=x➔(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】

=x➔(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3

③0▪∞型,这种情况不能直接用洛必达,要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用.

例：x➔0+lim(xlnx)【x➔0+时,lnx➔-∞,故是0▪∞型】

=x➔0+lim[(lnx)/(1/x)]【x➔0+时(1/x)➔+∞,故变成了∞/∞型】

=x➔0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0+lim(-x)=0

④1^∞型,1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪ln1)=e^(∞▪0)

例：x➔0lim(1+mx)^(1/x)=x➔0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型,可在指数上用洛必达】

=x➔0lime^[m/(1+mx)]=e^m

⑤∞°型,∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪ln∞)

例：x➔∞limm[x^(1/x)]=x➔∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型,可在指数上用洛必达】

=x➔∞lime^[(1/x)/1]=x➔∞lime^(1/x)°=e°=1

⑥0°型,0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪∞)

例：x➔0lim(x^x)=x➔0lime^(xlnx)=e

⑦∞－∞型,∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]

例：x➔1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x➔1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】

=x➔1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x➔1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】

=x➔1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2

三个条件。rn 1 分子分母同趋向于0或无穷大 。rn 2 在变量所趋向的值的去心邻域内，分子和分母均可导 。rn 3 分子和分母分别求完导后比值存在或趋向于无穷大。rn 洛必达法则(L'Hôpital's rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。法国数学家洛必达（Marquis de l'Hôpital）在他1696年的著作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes）发表了这法则，因此以他为命名。但一般认为这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）首先发现，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。

洛必达法则公式及例题如下

洛必达（L＇Hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

洛必达法则（定理）设函数f（x）和F（x）满足下列条件

⑴x→a时，limf（x）＝0，limF（x）＝0；

⑵在点a的某去心邻域内f（x）与F（x）都可导，且F（x）的导数不等于0；

⑶x→a时，lim（f＇（x）／F＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／F（x））＝lim（f＇（x）／F＇（x））

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