一个案例讲清楚条件概率与贝叶斯公式

条件概率就是指在一个事件发生时，另一事件发生的概率。概念虽然简单，在实际在使用的时候经常让人搞混淆，所以本文通过一些示例，详细介绍条件概率。

某市有男司机4000名，女司机1000名，上年共发生了250起交通事故，其中男司机造成了210起，女司机造成的事故40起，根据以上数据，求上年发生事故时司机为女性的概率是多少？

设事件 A A A =“司机发生事故概率”，事件 B 1 B_1 B1​ =“男司机”，事件 B 2 B_2 B2​ = “女司机”，那么有:

题目所要求的发生交通事故时司机为女性的概率可以表示为 P ( B 2 ∣ A ) P(B_2 | A) P(B2​∣A)。

为了方便对比，整理如下表所示：

根据贝叶斯公式，可得： P ( B 2 ∣ A ) = P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) = 0.16 × 0.333 0.84 × 0.667 + 0.16 × 0.333 = 0.16 P(B_2|A)=\frac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}= \frac{0.16 \times 0.333}{0.84 \times 0.667 + 0.16 \times 0.333}=0.16 P(B2​∣A)=P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)P(A∣B2​)P(B2​)​=0.84×0.667+0.16×0.3330.16×0.333​=0.16

男性的计算方式可以表示为： P ( B 1 ∣ A ) = 1 − P ( B 2 ∣ A ) = 1 − 0.16 = 0.84 P(B_1|A) = 1 - P(B_2|A) = 1 - 0.16 = 0.84 P(B1​∣A)=1−P(B2​∣A)=1−0.16=0.84. 同样也可以使用贝叶斯公式可以得到： P ( B 1 ∣ A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) = 0.0525 × 0.80 0.0525 × 0.80 + 0.04 × 0.20 = 0.84 P(B_1|A)=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}= \frac{0.0525 \times 0.80}{0.0525 \times 0.80 + 0.04 \times 0.20}=0.84 P(B1​∣A)=P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)P(A∣B1​)P(B1​)​=0.0525×0.80+0.04×0.200.0525×0.80​=0.84 结果一致。

我们再来统计 P ( A B ) P(AB) P(AB) 和 P ( A B 2 ) P(AB_2) P(AB2​)，由于 P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B 1 ) P(AB) = P(B | A) P(A)= P(A | B) P(B_1) P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A∣B)P(B1​)，所以分别可以计算如下： P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = 0.84 ∗ 0.05 = 0.42 P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B 1 ) = 0.0525 ∗ 0.80 = 0.42 P(AB) = P(B | A) P(A)=0.84*0.05=0.42\\ P(AB) = P(A | B) P(B_1)=0.0525*0.80=0.42 P(AB)=P(B∣A)P(A)=0.84∗0.05=0.42P(AB)=P(A∣B)P(B1​)=0.0525∗0.80=0.42

可见，使用统计学直接计算，会得到相同的结果。类似地，对于 P ( A B 2 ) P(AB_2) P(AB2​) 有： P ( A B 2 ) = P ( B 2 ∣ A ) P ( A ) = 0.16 ∗ 0.05 = 0.08 P(AB_2) = P(B_2 | A) P(A)=0.16*0.05=0.08 P(AB2​)=P(B2​∣A)P(A)=0.16∗0.05=0.08 P ( A B 2 ) = P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) = 0.040 ∗ 0.20 = 0.08 P(AB_2) = P(A | B_2) P(B_2)=0.040*0.20=0.08 P(AB2​)=P(A∣B2​)P(B2​)=0.040∗0.20=0.08

另外，根据全概率公式： P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) P(A)=P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)将数据代入，得： P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) = 0.0525 ∗ 0.80 + 0.04 ∗ 0.20 = 0.05 = P ( A ) P(A|B_1) P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) = 0.0525 * 0.80 + 0.04 * 0.20 = 0.05=P(A) P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)=0.0525∗0.80+0.04∗0.20=0.05=P(A)结果与之前的计算一致。

综上所述，在条件概率 P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(Y∣X)中， X X X 是已经发生了的确定事件，即概率的条件，而 Y Y Y 是要求的概率。比如，求“女司机的事故概率”，女司机是已经确定的，而所要求的是事故概率，所以概率表达式为 P ( 事 故 ∣ 女 司 机 ) P(事故 | 女司机) P(事故∣女司机)。反之，如果是求事故发生时女司机的概率，那么事故是已经发生的，是前提条件，所要求的是女司机的概率，所以表达式可以写成 P ( 女 司 机 ∣ 事 故 ) P(女司机 | 事故) P(女司机∣事故)，这就是条件概率的本质含义。