概率论4

条件概率是指在某些前提条件B下，发生事件A的概率。

定义：A与B是两个事件，且P(B)>0。 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\cfrac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​ 满足条件： 1、对任意A，有 P ( A ∣ B ) ≥ 0 P(A|B)≥0 P(A∣B)≥0 2、 P ( S ∣ B ) = 1 P(S|B)=1 P(S∣B)=1 3、 P ( ⋃ i = 1 n A i ∣ B ) = ⋃ i = 1 n P ( A i ∣ B ) ， 当 A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j 时 P(\bigcup_{i=1}^n A_i |B)=\bigcup_{i=1}^n P(A_i|B)，当A_i\cap A_j=\varnothing,i\neq j时 P(⋃i=1n​Ai​∣B)=⋃i=1n​P(Ai​∣B)，当Ai​∩Aj​=∅,i​=j时 4、对任意A、C有， P ( A ∪ C ∣ B ) = P ( A ∣ B ) + P ( C ∣ B ) − P ( A ∩ C ∣ B ) P(A\cup C |B)=P(A|B)+P(C|B)-P(A\cap C |B) P(A∪C∣B)=P(A∣B)+P(C∣B)−P(A∩C∣B)

在条件概率 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)中，研究的是在B已经发生的情况下的概率

也就是说当B为必然事件时，A发生的概率。事实上也就是先将B拿出来作为一个新集合 S b S_b Sb​研究，此时对于这个新集合 S b S_b Sb​，会有 P ( S b ) = 1 P(S_b)=1 P(Sb​)=1，但如果是相对于原集合的描述，则为： P ( B ∣ B ) = 1 P(B|B)=1 P(B∣B)=1。 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\cfrac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​

P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A∣B)P(B) \qquad = P ( B ∣ A ) P ( A ) \qquad\quad=P(B|A)P(A) =P(B∣A)P(A)

设全集 S = { B 1 ∪ B 2 ∪ . . . B n } S=\{B_1\cup B_2\cup...B_n\} S={B1​∪B2​∪...Bn​}，且 B i ∪ B j = ∅ , i ≠ j B_i\cup B_j=\varnothing,i\neq j Bi​∪Bj​=∅,i​=j。 称 B i B_i Bi​为 S S S的一个划分 则 P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i) P(A)=∑i=1n​P(A∣Bi​)P(Bi​) \qquad

设全集 S = { B 1 ∪ B 2 ∪ . . . B n } S=\{B_1\cup B_2\cup...B_n\} S={B1​∪B2​∪...Bn​}，且 B i ∪ B j = ∅ , i ≠ j B_i\cup B_j=\varnothing,i\neq j Bi​∪Bj​=∅,i​=j。 称 B i B_i Bi​为 S S S的一个划分 则： P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(B_i|A)=\cfrac{P(AB_i)}{P(A)}=\cfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)} P(Bi​∣A)=P(A)P(ABi​)​=∑i=1n​P(A∣Bi​)P(Bi​)P(A∣Bi​)P(Bi​)​

在放回抽样中，第一次抽到A和第二次抽到B两个事件是独立的。

1、设A，B是两个随机事件,如果 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B是相互独立事件。 2、对于 A 1 、 A 2 、 . . . A n ， n ≥ 2 A_1、A_2、...A_n，n≥2 A1​、A2​、...An​，n≥2事件独立，其中任意 k ≥ 2 k≥2 k≥2个事件 A 1 、 A 2 、 . . . A k A_1、A_2、...A_k A1​、A2​、...Ak​,则有: P ( A 1 A 2 . . . A k ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) . . . P ( A k ) P(A_1A_2...A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k) P(A1​A2​...Ak​)=P(A1​)P(A2​)...P(Ak​)

性质

1、当 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0时（即 A ≠ ∅ A\neq\varnothing A​=∅），有： \qquad \qquad \qquad P ( B ∣ A ) = P ( A ) P ( B ) ⇔ P(B|A)=P(A)P(B) \Leftrightarrow P(B∣A)=P(A)P(B)⇔ A与B是相互独立事件 \qquad 2、必然事件 S S S与任意事件独立，不可能事件 ∅ \varnothing ∅也与任意事件独立： P ( S A ) = P ( S ) P ( A = 1 ∗ P ( A ) P(SA)=P(S)P( A=1*P(A) P(SA)=P(S)P(A=1∗P(A) P ( ∅ A ) = P ( ∅ ) P ( A ) = 0 ∗ P ( A ) P(\varnothing A)=P(\varnothing)P( A)=0*P(A) P(∅A)=P(∅)P(A)=0∗P(A) \qquad 3、若 A A A与 B B B独立，则 A A A与 B ˉ \bar B Bˉ、 A ˉ \bar A Aˉ与 B ˉ \bar B Bˉ、 A ˉ \bar A Aˉ与 B B B也独立。

扩充

当A已经发生时，且B与A独立： P ( B ∣ A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) = P ( A ) P ( B ) P ( A ) = P ( B ) P(B|A)=\cfrac{P( B\cap A)}{P(A)}=\cfrac{P( A)P( B)}{P(A)}=P( B) P(B∣A)=P(A)P(B∩A)​=P(A)P(A)P(B)​=P(B) \qquad 当A、C已经发生时，且B与A独立，C与A也独立，则有： P ( B ∣ ( C ∩ A ) ) = P ( B ∩ C ∩ A ) ) P ( C ∩ A ) = P ( B ∩ C ) P ( A ) P ( C ) P ( A ) P(B|(C\cap A))=\cfrac{P( B\cap C\cap A))}{P(C\cap A)}=\cfrac{P(B\cap C)P(A)}{P(C)P(A)} P(B∣(C∩A))=P(C∩A)P(B∩C∩A))​=P(C)P(A)P(B∩C)P(A)​ \qquad = P ( B ∩ C ) P ( C ) = P ( B ∣ C ) =\cfrac{P(B\cap C)}{P(C)}=P(B|C) =P(C)P(B∩C)​=P(B∣C)

注意事件独立性和互斥是不同的

互斥事件是不可能同时发生的事件，即交集为空，但可能会产生相互影响。比如A与B互斥，那么A发生了，B肯定不发生。 \qquad 独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。比如A与B独立，A发生了，B可能发生也可能不发生。