哥德巴赫猜想

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哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture） 是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陈述为：

任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。

这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而将一个给定的偶数分拆成两个素数之和，则被称之为此数的哥德巴赫分拆。例如， 4 = 2 + 2 4 = 2 + 2 4=2+2

6 = 3 + 3 6 = 3 + 3 6=3+3

8 = 3 + 5 8 = 3 + 5 8=3+5

10 = 3 + 7 = 5 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 10=3+7=5+5

12 = 5 + 7 12 = 5 + 7 12=5+7

14 = 3 + 11 = 7 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 14=3+11=7+7

换句话说，哥德巴赫猜想主张每个大于等于4的偶数都是哥德巴赫数——可表示成两个素数之和的数[1]。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希尔伯特第八问题中的一个子问题。

其实，也有一部分奇数可以用两个素数的和表示，大多数的奇数无法用两个素数的和表示，例如：15=2+13 ，而 23、35等数则无法用两素数的和表示。

哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中国数学家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。

哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为弱哥德巴赫猜想）是声称大于5的奇数都可以表示成三个素数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数，都可以表示成三个素数之和，基本证明了弱哥德巴赫猜想。

1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中[2]，提出了以下的猜想：

任一大于2的整数都可以写成三个质数之和。

上述与现今的陈述有所出入，原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述为：

任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

欧拉在6月30日的回信中注明此一猜想可以有另一个等价的版本：

( A ) : (A): (A):任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

并将此一猜想视为一定理，但他却无法证明[3][4]。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：

( B ) : (B): (B): 任一大于5的奇数都可写成三个素数之和

的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的[4]。 1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇素数都能写成三个素数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉多夫定理”或“三素数定理”[4]。 2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特等人将维诺格拉多夫的结论进一步加强，并验证了较小的奇素数的情况，宣称完全证明了弱哥德巴赫猜想。[5][6]

哥德巴赫猜想相当困难。直至今日，数学家对于哥德巴赫猜想的完整证明没有任何头绪。事实上，从1742年这个猜想正式出现，到二十世纪初期，在超过160年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做一些进一步的猜测[7]。1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想[7]。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912年第五届国际数际数学家大会上，德国数论专家爱德蒙·朗道曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成K个素数的和，不管K是多少，都是数学家力所不及的。1921年，英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”[7]。

哈代和朗道做出以上的看法时，对强哥德巴赫猜想的研究已经踏在了突破的门槛上。关于哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出现在二十世纪20年代[8]。 这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础[8]。 1920年左右，英国数学家哈代和约翰·伊登斯尔·利特尔伍德极大地发展了解析数论，建立起了“圆法”等研究数论问题的有力工具。他们在1923年合作发表的论文中使用“圆法”证明了：在假设广义黎曼猜想成立的前提下，每个充分大的奇数都能表示为三个素数的和以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数的和[8][9]。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。

大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的素因数个数都不超过9个[8]。这个方法的思路是：如果能将其中的“9个”缩减到“1个”，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题可以被记作“9+9”，以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”。

圆法 注意：以下数学公式中的符号 p 1 , p 2 , ⋯ p_{1},p_{2},\cdots p1​,p2​,⋯ 等都表示素数。 从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了堆垒数论中一个新的分析方法[4]。这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现[10]。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数 m m m，沿着单位圆为路径的环路积分

∫ 0 1 e 2 π i m t d t = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{2\pi imt}\mathrm {d} t=0.\end{aligned}}} ∫01​e2πimtdt=0.​ 当且只当整数 m = 0 m=0 m=0 的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑积分式：

D ( N ) = ∫ 0 1 S 2 ( t , N ) e − 2 π i N t d t . D(N)=\int _{0}^{1}S^{2}(t,N)e^{{-2\pi iNt}}{\mathrm {d}}t. D(N)=∫01​S2(t,N)e−2πiNtdt.

其中 S ( t , N ) = ∑ 2 < p ≤ N e 2 π i p t S(t,N)=\sum _{{2(p1​,p2​)∣20 D(N)>0。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：

T ( N ) = ∫ 0 1 S 3 ( t , N ) e − 2 π i N t d t > 0 T(N)=\int _{0}^{1}S^{3}(t,N)e^{{-2\pi iNt}}{\mathrm {d}}t>0 T(N)=∫01​S3(t,N)e−2πiNtdt>0

因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式 D ( N ) D(N) D(N) 和 T ( N ) T(N) T(N) 中以素数为变数的三角多项式 e 2 π i p t e^{{2\pi ipt}} e2πipt。哈代和利特尔伍德猜测，当变量 t t t 接近于分母“比较小”的既约分数时， S ( t , N ) S(t,N) S(t,N) 的值会“比较大”，而当 t t t 接近于分母“比较大”的既约分数时， S ( t , N ) S(t,N) S(t,N) 的值会“比较小”。也就是说，积分 D ( N ) D(N) D(N) 的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc，与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（minor arc）。 . . . . . . ...... ...... 请点这里：哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想—初等数论课后习题