凸集、锥、凸锥、正常锥的辨析

2024-07-09 20:41| 来源: 网络整理| 查看: 265

凸集

如果对于任意 $x_{1}, x_{2} \in C$ 和满足 $0 \leq \theta \leq 1$ 的 $\theta$ 都有 $\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \in C$ ，那么称C为凸集。

左图：包含其边界的六边形是凸的；

中图：肾形集合不是凸的，因为图中所示集合中两点间的线段不为集合所包含；

右图：仅包含部分边界的正方形不是凸的。

锥

如果对于任意 $x \in C$ 和 $\theta \geq 0$ 都有 $\theta x \in C$ ，那么称C为锥。

锥的例子：

原点，过原点的射线、直线、射线簇，角（顶点为原点），对角等都是锥。

凸锥

如果对于任意 $x_{1}, x_{2} \in C$ 和 $\theta_{1}, \theta_{2} \geq 0$ 都有 $\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \in C$ ，那么称C为凸锥。

原点，过原点的射线、直线，角（顶点为原点，小于等于半平面）等都是凸锥，一般射线簇、角（顶点为原点，大于半平面）、对角等都不是凸锥。

正常锥

如果锥 $K \subseteq \mathbf{R}^{n}$ 满足以下条件：

K是凸的；（凸锥，线段连一片）

K是闭的；（边界属于K）

K是实的；（整体不是线）

K是尖的，即不包含直线（或者等价于 $x \in K,-x \in K \Rightarrow x=0$ ）；（不是半空间）

则称K为正常锥。

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