普通人对于现代数学各个分支的理解难度，从高到低排名是怎样的？

Yuhang Liu数学、高等数学、几何学话题优秀回答者 Math PhD Ca…

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谢邀。其实不能说“理解难度高低”，只能说不同分支的学习方式、思维方式是不一样的，给人的感觉也是不一样的。代数几何被认为难的主要原因是他有一套非常庞大的语言体系和知识体系。你如果去上代数几何的课就知道，第一个学期基本都在学习各种定义和基本的性质，你可以整整一个学期都在学什么是代数蔟，但是除了仿射空间和CP^n这种最基本的例子以外，你甚至没见过一个具体的、实实在在的代数簇的例子。你知道一个多项式方程定义了一个超曲面，但是整整一个学期你都没有处理过一个由具体的多项式定义的具体的超曲面。整整一个学期，你都在理解这套语言、这套机制；在你熟悉了这套语言之后，就可以开始干一些有趣的事情了。（注：有些教授上代数几何课也不完全会按照代数几何的那种标准讲法来讲。比如我上学期上的复代数几何，老师就不怎么注重严格性，讲了大量的例子，很多结论都没有证明，或者只是给了个证明的直观想法。。这种讲法的好处是，你终于知道代数几何到底在干些什么了，但是你却在细节方面就过不了关。很多结论你能理解大概的意思，但是却不会证。。）数论是一个神奇的分支。数论里面的很多结论讲的真的就是“正整数的性质”，所以真的是小学生都能理解。但是证明过程却可以用到很复杂的数学工具。比如今天早上听别人讲一个整数分解成平方和有多少种分法，然后是根据分法数目凑出了一个模形式，然后用模形式的理论去反过来求解原来的问题。PDE是被黑得很惨的一个学科。大部分黑点无非是水论文多什么的。我个人的看法是，PDE这个学科，入门并不算特别困难（所以浑水摸鱼的也多），但是真要做相关研究，内容可是相当、相当丰富的。大大小小的工程问题可以产生形形色色的微分方程，物理和数学本身也能产生大量的PDE。PDE要研究是研究不完的，而且不同的方程的处理方法又各有千秋。而且做PDE是真要自己认认真真去想、去算、去试的，需要很多硬功夫，并不像有些黑子黑的那么简单。组合也算是被黑的比较多的一个分支。组合问题的问题表述形式和数论有相似之处，就是很多问题都浅显易懂。比如说组合计数，说白了就是数数嘛～然后图论什么的，图谁不会画～然后组合里面似乎也喜欢折腾各种多项式、各种矩阵什么的，也都是看起来简单、做起来需要智商的问题。需要指出的是，组合不是初等数学，组合里面也可以用到很多高级数学工具（比如代数几何）。在数学的其他分支中，组合结构也非常常见，比如代数几何里面的tropical geometry。组合其实算是一种基本的数学结构。听别人说过：“数学家真正能操作的事情，其实就只有线性代数和组合（或许也可以加上微积分）”。数学家通过他们庞大的语言体系和工具体系，把一个个问题约化成更容易处理的问题，约化到最后，其实就是一些基本的数学结构。然后还有逻辑。逻辑在国内算是比较小众的方向，常常被人认为是非主流。其实在美国这边，很多学校数学系都有专门做逻辑的组。个人认为做逻辑需要脑子比较清楚、比较“能转”、对抽象概念和形式化推导有较强的耐受能力。另外逻辑是可以应用到其他数学分支的。我知道比较典型的应用有ultrafilter在组合当中的应用，还有model theory在valuation theory、anabelian geometry（对，就是望月新一搞的那一套anabelian geometry）中的应用。然后还有概率。概率总被认为是测度论的一个分支。。但是你真正去学概率的话，会觉得他和实分析的操作方式还是不太一样的。。虽然说随机变量就是可测函数，求期望就是求积分，但是你真正去操作随机变量的时候，还是会觉得把它当成一个“随机取值的数”在认知上更容易接受一些。。概率论本身就代表了一种看待问题的新角度，而且和数学其他分支也有联系，比如我知道有什么 概率几何 之类的东西。。最后讲讲我学的微分几何。微分几何是一个比较古老的分支，在高斯那个年代主要是研究曲线曲面的，在被黎曼嘉当陈省身等诸位大神层层升级之后，又被物理学（比如广义相对论和弦论）用力推了一波，现在已经变成研究抽象的空间（比如高维的流形、orbifold、Alexander space等等）上比较抽象的几何性质、几何量了。不过微分几何的抽象程度还是远远不及代数几何，基本本科生学一学黎曼几何之后就可以上手看论文了。主要的难度还是在技术和idea。几何分析大量依赖PDE的技术，其他方面的则要求对拓扑、李群李代数之类的工具比较熟悉。OK，写到这里我光荣宣布本答案烂尾了～现代数学体系极为庞大，按大方向分可以分出十几个大方向，下面细分小方向、子问题可以分出几十个上百个。要对他们系统阐述远远超出我的能力范围。真有兴趣的人可以去看看《普林斯顿数学指南》、《一万个科学难题之数学卷》等（有些人强行编出来的）数学类百科全书，以便一窥现代数学之概貌。在知乎这个平台上，我觉得更靠谱的做法可能是不同人具体介绍自己的研究方向（和目前关心的问题），这样才方便提供更专业、更有价值的信息。我已经写过一篇极粗略的介绍微分几何的文章了，没什么要多说的。

发布于 2016-10-14 44 条评论 感谢 

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和上一个回答观点略有不同。因为做的是PDE，就说说我的拙见。PDE内细分了几个大方向，现在比较主流的是dispersive PDE和fluid mechanics，分别在物理和工程方面应用多。这两个入门都不容易。当然，这涉及到所谓入门的定义。如果说论文能看懂每一步就算入门的话，个别论文估计本科三年级的就能看懂，说到底就是一个算。很多关于blow-up的论文，全都是积分和不等式及估计，每一步看起来都trivial。问题是当你自己在做的时候，全都变得不trivial了。而这些算式背后的想法才是关键，怎么样构造才能算得出有用的结果。在我看来，能基本理解作者背后的意图以及大致懂得各个工具的局限和长处才算入门。举几个基本例子，例如non-linear, non-local的方程不能光用Fourier transform，需要结合Littlewood-Paley theory；以及可能涉及到高频率波动时不能只在L^p空间里考虑，需要Holder或者sobolev。和代数几何比起来，PDE的定义和语法结构相对少，基本上都是依赖于微积分和泛函的，但也正因此需要用到的工具极多。调和分析算是主要的工具，其中包括各种各种变换（Fourier， Hilbert， Riesz，Radon，Hardy maximal function等等），各种函数空间（L^p, Sobolev, Holder, Bessov，BMO，Hardy等等）。以上每个名词拿来讲课短的可以讲一个月，长的甚至大半学期。连陶哲轩当年都差点因此而没考过资格考试（他选考了调和分析和数论，调和分析问的都是PDE相关的问题，他基本上都没答对，最后靠着数论才通过的，具体的问题话可以搜他的博客，里面有写）。调和分析外，基本的PDE理论（一二阶线性方程）也是必须掌握的。代数也会涉及到，例如semi group theory延伸出来的Banach algebra, C*algebra，各种算子（compact, bounded, self-adjoint, symmetric等等）的spectral theory。这几项不需要用到特别多，基本的方法却是必需要掌握，有时候用到一些结论处理问题会特别方便。而能做研究靠的正是这些相互之间关联繁杂的工具。其他不太了解的方向就不评价了。