[图的最短路径算法]Dijkstra, Bellman

随着算法教学进度的推进，虽然关于图论的专题只开了头，讲了$DFS$和$BFS$...

可是，万恶的计算机网络作业居然都是这样的题目，此处省略脏话1000+字，本真离散数学曾经学过的良心，默默温习一下~但是，与此同时也算是对算法的一点点预习吧~~~（你心态真好！！喂，刚刚搞完JAVA的大作业，然后就得知马上要交网络的作业啊喂！！！

正题开始

一. Dijkstra算法

中文维基百科译为"戴克斯特拉"。很遗憾，这种算法不能解决权值为负的情况，可是谁叫我们一般情况下权值都是正值呢？它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

下面又开始了无耻的转载了......

1. 算法思想

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2. 算法步骤

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

3. 动画示例

4. 代码实现

 (Bellman-Ford算法转载自飘过的小牛博客：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6791765）

三、Floyd-Warshall算法

1. 算法简介

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。 

2. 算法描述 

1)算法思想原理： 

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在） 

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。 

2).算法描述： 

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　 

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。 

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法 

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

 给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点 

$A_{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 5 & \infty & 7  \\ \infty & 0 & 4 & 2 \\3 & 3 &0 & 2 \\\infty & \infty &1  & 0 \\\end{array}\right]$

$Path_{-1}=\left[\begin{array}{cccc}-1 & -1&-1 & -1  \\ -1& -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & -1 & -1 \\-1 & -1 &-1 & -1 \\\end{array}\right]$

相应计算方法如下： 

最后A3即为所求结果

3. 算法代码

这种算法的代码写起来超级简单啊~