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二叉搜索树（查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂）
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目录 1. 二叉搜索树（BST） 1.1 二叉搜索树概念 1.2 二叉搜索树操作 1.2.1 二叉搜索树的查找 1.2.2 二叉搜索树的插入 1.2.3 二叉搜索树的删除 2. 二叉搜索树的实现 2.1BST基本结构 2.2 BST操作成员函数(非递归） 2.3 BST操作成员函数（递归） 3. 二叉搜索树的应用 4. 二叉搜索树的性能分析 1. 二叉搜索树（BST） 1.1 二叉搜索树概念二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树： 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值它的左右子树也分别为二叉搜索树
插入的具体过程如下： 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针树不为空，按二叉搜索树性质查找插入的位置，插入新节点（记录父节点，判断插入的节点应该在父节点的左子树还是右子树）
看似删除节点有4种情况，但实际上a和b和c可以合并，这样就只有2种情况了： a:待删除的结点无孩子/只有一个孩子：删除结点并使父亲结点指向被删除结点的孩子结点（无孩子视为孩子是空结点，任意指向一个即可）
b:待删除的结点有左右孩子：采用替换法，寻找删除结点右子树的最小结点（右子树最左结点），将最小结点的值和删除结点的值替换，然后删除最小结点（此时最小结点，要么没有孩子，要么只有一个孩子，符合a情况可以直接删除）
结点： template struct BSTreeNode { BSTreeNode* _left; BSTreeNode* _right; K _key; BSTreeNode(const K& key) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _key(key) {} };BST树： template class BSTree { typedef BSTreeNode Node; public: //成员函数 private: Node* _root=nullptr; };查找： bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { //待查值大于当前结点，去右子树 if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } //待查值小于当前结点，去左子树 else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } //找到 else { return true; } } return false; } 2.2 BST操作成员函数(非递归）插入： bool Insert(const K& key) { //树为空，则直接新增结点，赋值给_root指针 if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; //按性质查找插入的位置，并且记录父结点 while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } //已有结点，不需要再插入 else { return false; } } cur = new Node(key); //判断是插入父结点的左部还是右部 if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; }删除： bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; //查找是否有待删除的节点 while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { // 开始删除 // 1、左为空 // 2、右为空 // 3、左右都不为空 if (cur->_left == nullptr) { //判断下当前节点是否是_root，若是,无法用parent(当前为nullptr，防止野指针错误) if (cur == _root) { _root = cur->_right; } else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_right; } else { parent->_right = cur->_right; } } delete cur; cur = nullptr; } else if (cur->_right == nullptr) { if (_root == cur) { _root = cur->_left; } else { if (cur == parent->_left) { parent->_left = cur->_left; } else { parent->_right = cur->_left; } } delete cur; cur = nullptr; } else { //记录删除节点父节点 Node* minParent = cur; //找到右子树最小节点进行替换 Node* min = cur->_right; while (min->_left) { minParent = min; min = min->_left; } swap(cur->_key, min->_key); //min在父的左孩子上 if (minParent->_left == min) //万一最左节点还有右孩子节点，或者是叶子也直接指右为空 minParent->_left = min->_right; //min在父的右孩子上（待删除节点在根节点，最左节点为根节点的右孩子） else minParent->_right = min->_right; delete min; min == nullptr; } return true; } } return false; }其他成员函数这里就不展示了，这里再说一个小tips: default：强制编译器生成默认的构造——C++11的用法 BSTree()=default; 2.3 BST操作成员函数（递归）还是递归香，看懂了上面的非递归那么就可以改造成递归了。 查找： bool _FindR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) { return _FindR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { return _FindR(root->_left, key); } else { return true; } }插入： bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { root = new Node(key); return true; } if (root->_key < key) return _InsertR(root->_right, key); else if (root->_key > key) return _InsertR(root->_left, key); else return false; }删除： bool _EraseR(Node* root, const K& key) { Node* del = root; if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) return _EraseR(root->_right, key); else if (root->_key > key) return _EraseR(root->_left, key); else { if (root->_left == nullptr) root = root->_right; else if (root->_right == nullptr) root = root->_left; else { //找右数的最左节点替换删除 Node* min = root->_right; while (min->_left) { min = min->_left; } swap(root->_key, min->_key); //交换后结构改变不是搜索二叉树了，规定范围在右树（因为是右树最左节点替换）再递归 return _EraseR(root->_right, key); } delete del; return true; } } 3. 二叉搜索树的应用 1. K模型 ：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。 比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下： 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。 2. KV模型 ：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方 式在现实生活中非常常见： 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对； 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出 现次数就是就构成一种键值对。 4. 二叉搜索树的性能分析插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。 对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。 但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下：二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为：log(N) 最差情况下：二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其平均比较次数为 N 如果退化为单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进？无论按照什么次序插入关键码，都能达到最优？这就需要AVL树和红黑树了。
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我举几个例子，更直观的看清楚结构：
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