椭圆竟然也可以“求导”吗？－－－－隐函数及其运用

/doge/你还在为涉及切线的圆锥曲线大题发愁吗？

你还在苦恼不等式不会证明吗？

这不，时隔几个月，继上一期讲偏导数时所提到的隐函数来了！

顺便一提，隐函数也是可以在高考中使用的，你要不要学呢qwq

        在你的印象中，一提到函数，是否就会想到y＝f(x)这样的东西？没错，但实际上，形如y＝f(x)的函数还有一个更准确的名称－－“显函数”，这是因为它表示的函数关系确实很明显嘛。而与之相对的，自然就有“隐函数”了。

一、概念

        隐函数，顾名思义，就是函数关系被“隐藏”起来的函数。百度上是这么解释它的：

       百度上的解释肯定是对的，但可能没那么直白。我们知道，一般的函数(显函数) 中，每一个x都有对应的唯一一个确定的y，而在隐函数中则不一定，一个x可以对应多个y的取值，但这些x和y，都能使某一个关于x,y的方程：F(x,y)=0成立，这个方程就是x,y的隐含关系。

        例如，本文标题提到过椭圆，椭圆方程就是一个关于x,y的隐函数。例如x²/4+y²=1，很显然，如果给定一个定义域内的x，那么这个x就可能对应了2个不同的y。

二、各种性质 

       既然隐函数也是函数，那就让我们按照研究函数的过程走一遍吧。

1、定义域和值域

        虽然是隐函数，但也别忘了自变量仍然是x，所以定义域依然是x的取值范围，会受到条件和函数本身的各种约束。同样的，值域就是y的取值范围。

         像x²/4+y²=1，就有x²/4=1-y²≤1，所以定义域是[-2,2]，同理可求出值域是[-1,1]。

2、奇偶性和单调性

        由于隐函数中的映射关系不唯一，所以一般不讨论它的奇偶性或者单调性。不过，从图像上来看，隐函数可以有对称性。

3、隐函数的导函数

        然而，没了单调性并不代表隐函数就不能求导，接下来的求导才是重头戏。 

不妨假设隐函数的隐含关系为：y=i(x)，

那么导函数就是：y'=i'(x)

那么i'(x)该怎么算呢？显函数中是对两边同时求导，隐函数也是如此：

还是这个椭圆方程x²/4+y²=1，

既然y=i(x)，代入就有：

x²/4+[i(x)]²=1，

这是一个关于x的复合函数。

根据复合函数的求导法则对两边进行求导：

x/2+2i(x)i'(x)=0，

其实就是x/2+2yy'=0，

化简得y'=-x/4y

类似地，其它隐函数也可以这么求导。

可以看出，与显函数不同，隐函数的导函数值与x和y都有关。

三、实战运用

1、切线

        和显函数一样，隐函数在某点处的导数值等于以该点为切点的切线斜率。根据这一性质，可以在已知切点的情况下来求某些图形的切线。

例1：

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1，P(x₀,y₀)是C上的一点，求过该点的切线方程。

通常做法是直接假设斜率然后解判别式，但这样计算量不小。

其实也可以从隐函数的角度解决，首先求导：

2x/a²+2yy'/b²=0

化简得y'=-xb²/ya²

所以切线的斜率k=-x₀b²/y₀a²

由点斜式：y-y₀=k(x-x₀)，代入k

化简得xx₀/a²+yy₀/b²=x₀²/a²+y₀²/b²

别忘了P在C上，所以x₀²/a²+y₀²/b²=1

因此切线方程为：

xx₀/a²+yy₀/b²=1

（严格来说应对斜率是否存在进行分类，此处略去）

这就是著名的椭圆切线方程了。同样的方法，还可以证明双曲线，抛物线的切线方程。

无论是怎么样的曲线，只要知道切点坐标，并且隐函数可导，就可以按照这个方法求切线方程。

2、最值

        求导除了可以解决切线，更重要的一个用途就是求极值，有了极值就能求最值。

例2：

已知x²+xy+y²=1，求y的取值范围。

不能直接把y单独放在一边，因为这是相当于一个关于y的二次方程，如果硬要分类把y解出来，再求导的话则会很麻烦。而数形结合的方法也失效了，因为从图像上看，这是一个歪了的椭圆。

而条件明显是一个隐函数，所以应该用隐函数的方法解决。

直接求导：2x+y+xy'+2yy'=0（xy项的求导要用求导的乘法法则）

化简得：y'=-(2x+y)/(x+2y)

令y'=0，可知当2x+y=0时有极值

联立x²+xy+y²=1

解得y=±2√3/3

经检验，y=±2√3/3是y的最大、最小值

所以y的取值范围是[-2√3/3,2√3/3]

从图上也可以直观地看出来：

相比之下，隐函数求导的方法简单许多。如果下次给的是其他关系式，也可以尝试隐函数求导的方法。

        总的来说，隐函数和平时我们所见的显函数相似，而隐函数能解决包括显函数所解决的在内的更多问题，希望能够帮到同学们的学习。下期专栏我会继续介绍其它课外知识。