曲线积分与曲面积分的深层理解

今天学习了一下旋度和散度的概念，对曲线曲面积分有了更深刻的认识。

首先要知道这两个东西咋来的

大家先记住一点，旋度是和在平面内旋转有关的，想象一个漩涡；散度是和在空间中的放射源有关的，想象一个电子放射出的电场线。

下面我开始说了：整个曲线积分和曲面积分研究的就是做功和流量问题，其中曲线积分主要解决做功问题，曲面积分解决流量问题。

ps:关于曲线积分，我新写了一篇文章从力、场、能量的角度来理解，肯定可以帮助各位更好地掌握

假设你在海面上，旁边有一个漩涡中心眼，那么伴随这个漩涡出现的是周围一大片的水流有规律的做螺旋运动。你只要身处其中，就会受到这种力，让你被迫开始做螺旋运动。

假设此时你是一个小球，被穿在一个环绕漩涡眼的固定的钢轨上，所以你仍然会受漩涡力的影响，会转，但是不至于被卷到中心去。要注意的是，受漩涡力的影响，你的速度会不断增加，也就是说漩涡力场在不断向你做功，受漩涡力影响转一整圈做的功就叫环量，其实就是第二类曲线积分。

格林公式、斯托克公式就是告诉我们，环量是力场的外在，其实它是由力场的旋度决定的。力在路径上的累积效果=旋度在区域内的累积效果

目前就1个漩涡，称其为1号漩涡，假设很远处还有一个2号漩涡。如果你在1号漩涡在半径10米范围内绕行一圈，漩涡力场对你做功500焦耳，在2号漩涡半径10米范围内绕行一圈被做功800焦耳，那么就说2号漩涡的旋度更大

假设1个电子会放射会一定数量的电场线在自己周围，2个就会放射更多，我们设空间中有3个电子吧。画一个大圆球把3个电子都罩住，然后你去求球面上每一处的电场线密度，再对整个球面积分，可以得到所有电场线的数目，这叫通量，也就是第二类曲面积分。那你是不是也可以，擒贼先擒王，打蛇打七寸，直接把每个电子抓过来数有多少根电场线？

你去曲面积分，就是求通量；你去抓电子数电场线，就是求散度

高斯公式就是说，电场线对封闭曲面的累积效应=散度在立体空间上的累计效应

最后总结一下，研究力做功问题时，请记着旋度和环量，其中旋度才是根本，反映了力场的旋转强度，可以通过旋度求环量；研究流量问题时，请记着散度和通量，其中散度才是根本，反映了源头的放射强度，可以通过散度求通量

路径无关：

当小球绕行范围内不包含漩涡源头且旋度为0，小球沿着任意封闭曲线绕行，力做功都是0。但是积分路径L1不封闭时，就不是0了。此时可以补充一条路径L2使其构成封闭路径(注意不能包含漩涡源头，也就是题目中的瑕点)。可知∫L1+∫L2=0，所以L1的积分实际上可由 L2积分反映。有意思的是，由于路径内旋度为0，不管L2怎么取，只要封闭了，必恒等于L1，也就是只要你两个端点定了，怎么走积分都一样，这就是曲线积分和路径无关

形状无关：当一个封闭曲面内不包含放射源时，穿进和穿出曲面的电场线数量一样，净穿出数为0，Px+Qy+Rz=0，因此曲面内散度为0。此时把曲面切一刀，变成D1和D2，可知流量在D1和D2上积分结果互为相反数，因为加起来是0。D2不动，D1的开口边界线也不动，任意改变D1的形状，令其变尖锐、圆滑、揉成纸团，怎样都好，流量在D1上积分始终是D2的相反数，这就是曲面积分和形状无关