圆螺旋线求曲率半径

看论文的时候看到给出了螺旋线的曲率半径求解公式： 便想着这个公式是怎么求出来的。

上述螺旋线我们知道h(转一圈，又称为导程)，螺旋的半径是r。

我们可以用参数方程来描述螺旋线：

{ x = r c o s θ y = r s i n θ z = h 2 π θ \left\{\begin{aligned} x&=rcos\theta \\ y&=rsin\theta \\ z&=\frac{h}{2\pi}\theta \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​xyz​=rcosθ=rsinθ=2πh​θ​

为什么z的表达式中系数是 h 2 π \frac{h}{2\pi} 2πh​呢？想一下， θ \theta θ角从0转到 2 π 2\pi 2π，这样整个旋转了一圈，把螺旋线拉开截面方向就从0到 2 π r 2\pi r 2πr，纵向方向从0到h，两个都是线性增加，很明显 { z ( 0 ) = 0 z ( 2 π ) = h z ( θ ) = k θ \left\{\begin{aligned} z(0)&=0 \\ z(2\pi)&=h \\ z(\theta)&=k\theta \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​z(0)z(2π)z(θ)​=0=h=kθ​

则有

k = z ( 2 π ) − z ( 0 ) 2 π − 0 = h 2 π k=\frac{z(2\pi)-z(0)}{2\pi-0}=\frac{h}{2\pi} k=2π−0z(2π)−z(0)​=2πh​

这就解释了z的表达式中系数k是 h 2 π \frac{h}{2\pi} 2πh​。 写出了参数方程，参考维基百科[1]参数方程的曲率公式（曲率半径是曲率的倒数）：

对于一个以参数化形式给出的空间曲线 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )   r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )   {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,}{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,} r(t)=(x(t),y(t),z(t))r(t)=(x(t),y(t),z(t))其曲率为

列出需要的表达式： { x ′ ( θ ) = − r s i n θ x ′ ′ ( θ ) = − r c o s θ y ′ ( θ ) = r c o s θ y ′ ′ ( θ ) = − r s i n θ z ′ ( θ ) = h 2 π z ′ ′ ( θ ) = 0 \left\{\begin{aligned} x'(\theta)=&-rsin\theta \\ x''(\theta)=&-rcos\theta\\ y'(\theta)=&rcos\theta \\ y''(\theta)=&-rsin\theta\\ z'(\theta)=&\frac{h}{2\pi}\\ z''(\theta)=&0 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x′(θ)=x′′(θ)=y′(θ)=y′′(θ)=z′(θ)=z′′(θ)=​−rsinθ−rcosθrcosθ−rsinθ2πh​0​

代入计算 κ = ( z ′ ′ y ′ − y ′ ′ z ′ ) 2 + ( x ′ ′ z ′ − z ′ ′ x ′ ) 2 + ( y ′ ′ x ′ − x ′ ′ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 = [ 0 ⋅ r c o s θ − ( − r s i n θ ) ⋅ h 2 π ] 2 + [ − r c o s θ ⋅ h 2 π − 0 ⋅ ( − r s i n θ ) ] 2 + [ ( − r s i n θ ) ⋅ ( − r s i n θ ) − ( − r c o s θ ) ⋅ r c o s θ ] 2 [ ( − r s i n θ ) 2 + ( r c o s θ ) 2 + ( h 2 π ) 2 ] 3 2 = ( h 2 π ) 2 r 2 + r 4 ( ( h 2 π ) 2 + r 2 ) 3 2 = r ( h 2 π ) 2 + r 2 ( ( h 2 π ) 2 + r 2 ) 3 2 = r ( h 2 π ) 2 + r 2 \begin{aligned} \kappa&=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{\frac{3}{2}}}\\ &=\frac{\sqrt{[0\cdot rcos\theta-(-rsin\theta)\cdot \frac{h}{2\pi}]^2+[-rcos\theta\cdot \frac{h}{2\pi}-0\cdot(-rsin\theta)]^2+[(-rsin\theta)\cdot(-rsin\theta)-(-rcos\theta)\cdot rcos\theta]^2}}{[(-rsin\theta)^2+(rcos\theta)^2+(\frac{h}{2\pi})^2]^{\frac{3}{2}}} \\&=\frac{\sqrt{(\frac{h}{2\pi})^2r^2+r^4}}{((\frac{h}{2\pi})^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{r\sqrt{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}}{((\frac{h}{2\pi})^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\\&=\frac{r}{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}\end{aligned} κ​=(x′2+y′2+z′2)23​(z′′y′−y′′z′)2+(x′′z′−z′′x′)2+(y′′x′−x′′y′)2 ​​=[(−rsinθ)2+(rcosθ)2+(2πh​)2]23​[0⋅rcosθ−(−rsinθ)⋅2πh​]2+[−rcosθ⋅2πh​−0⋅(−rsinθ)]2+[(−rsinθ)⋅(−rsinθ)−(−rcosθ)⋅rcosθ]2 ​​=((2πh​)2+r2)23​(2πh​)2r2+r4 ​​=((2πh​)2+r2)23​r(2πh​)2+r2 ​​=(2πh​)2+r2r​​

曲率求倒数，所以圆螺旋线曲率半径为

ρ = ( h 2 π ) 2 + r 2 r \rho=\frac{(\frac{h}{2\pi})^2+r^2}{r} ρ=r(2πh​)2+r2​

和论文所述一致

维基百科-曲率