涡旋压缩机的变基圆型线研究

2024-06-18 00:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

涡旋式压缩机是20世纪70年代发展起来的一种高效、安静、可靠的容积式压缩机, 是最具发展潜力的压缩机之一.早期的涡旋盘以等壁厚为主, 其型线以圆渐开线为主, 线段、正四边形等渐开线也可构成等壁厚涡旋盘[1-5].

随着加工技术的进步以及对高性能、高效率、小体积的更高需求, 涡旋盘逐渐采用变壁厚设计.Tojo等[6-7]首先提出了以变基圆渐开线作为涡旋型线; Lee等[8]证明了平面啮合理论可以用于涡旋盘的设计; 王君等[9-10]论证了变基圆渐开线作为涡旋型线的可行性, 给出了在外型线没有起始角时的变基圆涡旋型线的形式, 并对圆渐开线型线进行双圆弧修正, 推导出双圆弧修正型线方程.李雪琴等[11]给出了外型线具有起始角时的外型线方程, 而对于具有起始角的内型线方程没有明确给出.

本文基于变基圆型线展开角是否在x轴起始, 对具有起始角的内、外型线进行研究, 给出了内、外型线的方程表达式, 推导了偏心距的求解方程, 分析了两种情况下型线方程之间的关系; 并对两种变基圆型线方程进行双圆弧齿头修正, 给出了修正型线方程.

1 构成涡旋型线的条件 1.1 平面曲线啮合原理

为了分析方便, 将涡旋盘简化成平面曲线可以更好地了解涡旋机械运动.首先, 引入两个平面坐标系Πf和Πm, 两个坐标系的坐标轴相互成180°, 如图 1所示.坐标系Πm绕Πf的原点以距离rob做公转平动, 那么平面Πm的坐标原点在Πf坐标系中可以表示为

图 1(Fig. 1) 图 1 平面Πm和Πf所组成的平面涡旋机构 Fig.1 Planar scroll mechanism formed by the planes Πm and Πf (1)

式中, θ为平面Πm绕Πf的旋转角度.

平面中任意连续、光滑的曲线均可以用曲率中心(xc, yc)、曲率半径ρ和极角ϕ表示.那么, 在平面Πm中的一条连续、光滑曲线可以表示为

(2)

当平面Πm逆时针绕平面Πf的原点以距离rob做公转平动时, 光滑曲线会在平面Πf上形成这个曲线的线簇, 进而形成内、外两条共轭曲线, 如图 1所示, 内、外共轭曲线可表示为

(3)

其中, ρ(ϕm)-rob≥0;i=ou, in; ±取正为ou, 取负为in.

当两个涡旋盘啮合时, 啮合点一定在这内、外两条共轭曲线上, 内共轭线称为内型线, 外共轭线称为外型线, 又ϕf=ϕm±π, 则内、外型线的方程形式为

(4)

因此, 涡旋盘内、外型线可以由曲率中心(xc, yc)、曲率半径ρ、偏心距rob和自变量ϕf表示.

1.2 变基圆渐开线

相比圆渐开线, 变基圆渐开线的基圆半径是不断变化的, 如图 2所示.变基圆半径为a=a0+δ0·ϕ, 其中a0为初始半径长度, δ0为半径变换率, ϕ为展开角.由渐开线性质可知, 展开线增量dρ等于变基圆弧长的增量dl, 即dρ=dl, 则有

图 2(Fig. 2) 图 2 变基圆渐开线的示意图与参数定义 Fig.2 Sketch map and parametric definitions of a circular involute with variable radii (5)

根据基圆半径a、展开线ρ和展开角ϕ, 可以得出变基圆渐开线方程为

(6)

方程(6)表示的是变基圆渐开线起始角为0°的情况下变基圆渐开线的方程形式, 并且展开角是从x轴开始的.在实际设计变基圆型线时, 往往渐开线都具有一定的起始角, 并且展开角ϕ不在x轴起始.

2 变基圆涡旋型线 2.1 展开角在x轴起始

令涡旋型线为变基圆渐开线, 内、外型线起始角分别为αin和αou, 建立平面Πf和Πm分别为两个涡旋盘的坐标系, 令外型线的展开角在x轴起始, 则内型线起始角为αin+αou, 如图 3所示.

图 3(Fig. 3) 图 3 展开角在x轴变基圆涡旋型线示意图 Fig.3 Scroll profile of variable base circle whose opening angle is on x-axis

在坐标系Πf中, 外型线的起始角为0°, 基圆半径起始长度为a0, 基圆半径变化率为δ0, 展开角为ϕ, 则有

(7) (8)

根据变基圆渐开线方程形式, 可以得出平面Πf中涡旋盘外型线方程为

(9)

根据平面曲线啮合理论, 一对共轭曲线具有相同的基圆半径, 可知平面Πm中内型线展开角ϕ′=ϕ-(αin+αou)+π, 则基圆半径和展开线方程为

(10) (11)

根据方程(10)，(11)可以得到坐标系Πf中的内型线方程为

(12)

根据平面啮合理论, 在点C0处有

(13)

式(13)中θ表示平面Πm绕平面Πf平动的公转角度, 并且θ=θ(ϕ), 根据文献[12]可知式(13)的Jacobian行列式为0, 得出θ与ϕ的关系:

(14)

由方程(14)可得θ=ϕ+π/2, 则根据方程(9)，(12)，(13)可以得出偏心距为

(15) 2.2 展开角不在x轴起始

图 4为内外起始角为αin，αou的变基圆渐开线型线.平面Πf中外型线展开角ϕ在-αou处起始, 即ϕ∈[-αou, ϕ], 则有

图 4(Fig. 4) 图 4 展开角不在x轴的变基圆涡旋型线示意图 Fig.4 Scroll profile of variable base circle whose opening angle is not on x-axis (16) (17)

那么在平面Πf中, 外型线方程为

(18)

令平面Πm中的内型线展开角为ϕ′≥0, 则有ϕ′=ϕ+π-αin, 同理有

(19) (20)

根据方程(19)，(20)可以得到坐标系Πf中的内型线方程为

(21)

根据平面啮合理论, 在点C0处有

(22)

则方程(22)的Jacobian行列式为0, 即

(23)

由方程(23)可得θ=ϕ+π/2, 可得偏心距为

(24)

由2.1和2.2节可知无论展开角在何处起始, 涡旋盘偏心距rob只与基圆初始半径a0，基圆变化率δ0，内、外型线起始角αin, αou有关.当涡旋盘的初始基圆半径a0、基圆变化率δ0、内外起始角αin, αou一定时, 上述两种方程形式的涡旋型线如图 5所示.将图 5中展开角不在x轴起始的型线方程绕坐标系原点逆时针旋转αou角度, 发现与展开角在x轴起始的型线方程重合.可知方程(9)，(12)与(18)，(21)的表达形式虽然不同, 但所表达的变基圆涡旋型线相同.因此给定基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外渐开线起始角, 就可以唯一确定一组变基圆涡旋型线.

图 5(Fig. 5) 图 5 两种方程形式的变基圆涡旋型线 Fig.5 Two types of scroll profile of variable base circle equations 3 变基圆涡旋型线的齿头修正 3.1 展开角在x轴起始的双圆弧修正

对于初始基圆半径为a0, 基圆半径变化率为δ0, 内、外起始角为αin, αou的变基圆涡旋型线的双圆弧修正步骤为:以基圆半径中心为坐标原点O, 令修正展角为β, 在内、外型线上分别取中线展角为β+π, β的两点Cin, Cou, 过点Cin, Cou分别作内、外型线的法线, 过原点O做两条法线的垂线, 交点为A, B两点; 以O为圆心做直径为rob的特征圆, 线段CinCou交特征圆于D, H两点, 连接OD并双向延长, 分别交法线ACou, BCin于E, F两点; 最后分别以点E, F为圆心, 以ECou, FCin为半径作小圆弧大圆弧即为修正圆弧, 如图 6所示.

图 6(Fig. 6) 图 6 展开角在x轴起始的双圆弧修正型线 Fig.6 Modified double arc line of which opening angle is started on x-axis

由文献[9]可知, 在双圆弧修正型线中点A, B关于原点O对称, ACou//BCin, 且BCin与ACou之差为rob.因此可以得到关系式:

(25) (26) (27)

联立方程(25)，(26)，(27)可得

(28) (29) (30)

又根据方程(7)，(8)可知当修正展角为β时, aou, ρou为

(31) (32)

继而可得修正角γ为

(33)

则双圆弧修正方程为

(34) (35)

双圆弧修正型线的存在需要满足条件:①Rou>0, 即保证外型线与修正圆弧光滑连接; ②β>αou, 即保证外圆弧与外型线有交点.

3.2 展开角不在x轴起始的双圆弧修正

当展开角不在x轴起始时, 同样给定初始基圆半径为a0, 基圆半径变化率为δ0, 内、外起始角为αin, αou的变基圆涡旋型线, 双圆弧修正型线如图 7所示.令β为修正展角, 则有ϕβ=β-αou, 修正角ϕγ=β-αou-arctan(d/aou), 对应的基圆半径和展开线为

图 7(Fig. 7) 图 7 展开角不在x轴起始的双圆弧齿头修正型线 Fig.7 Modified double arc line of which opening angle is not started on x-axis (36) (37)

由图 7可知Rou, Rin和d的关系式同样如方程(25)，(26)和(27)所示, 则修正角为

(38)

因此, 展开角不在x轴起始的双圆弧修正方程为

(39) (40)

对于不同修正展角, 涡旋齿头变化如图 8所示.在图 8中修正展角由π/4逐渐增大到13π/12, 涡旋齿头的壁厚逐渐增厚, 长度逐渐减小.当修正展角较小时, 压缩气体到排气口需要动涡盘公转平动更大的角度, 能够获得更高的压缩比.

图 8(Fig. 8) 图 8 不同修正展角的双圆弧修正型线 Fig.8 Different β values to the scroll profile with arc modification 4 结论

1) 针对变基圆涡旋型线展开角是否在x轴起始的两种情况, 推导出具有起始角的外型线方程.根据平面曲线啮合原理推导出具有起始角的内型线方程, 在此基础上得到两种形式的涡旋型线方程.

2) 对比两种形式的涡旋型线方程, 在基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外型线起始角一定时, 有相同的变基圆涡旋型线, 可依据设计加工需求选择适合的型线方程形式.涡旋盘的偏心距由基圆初始半径、基圆半径变化率和内、外型线起始角确定, 给出偏心距的求解方程.

3) 采用双圆弧修正法对两种形式的变基圆型线方程进行齿头修正, 给出了双圆弧齿头修正方程.当修正展角增大时, 涡旋齿头的壁厚增加、长度减小, 适当选取较小的修正展角, 可以获得更大的压缩行程, 提高压缩比.

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