科普｜搞懂事件的概念，会用洛伦兹变换，狭义相对论就很容易！

以下文章来源于物含妙理 ，作者薛德堡

物含妙理.

境自远尘皆入咏，物含妙理总堪寻。

当你向一个nice的女孩求爱时，一个小时就像一秒钟。当你坐在炽热的煤渣上时，一秒钟似乎是一个小时，这就是相对性。

——阿尔伯特·爱因斯坦

如果你对狭义相对论感到困惑，或者虽然感觉上懂了，但却又不会分析和计算具体问题，无论你是中学生、大学生还是其他物理爱好者，本文将帮助你彻底攻克狭义相对论。

学了狭义相对论之后，很多人对其反直觉的理论感到困惑。仿佛之前熟悉的路程、速度和时间的之间关系完全被破坏了似的，面对一个最简单的小学生都会的行程问题，都没法有理有据地给出答案，搞得人很不自信。

其实，所谓“反直觉”是对相对论的误解，它本身的逻辑和思想是简单直接的。之所以很多人不理解，原因很简单，没有抓住狭义相对论的关键。

那么，狭义相对论的关键是什么呢？

当然是狭义相对论的两条基本假设——相对性原理和光速不变原理。

01

从两条基本假设讲起

相对性原理和光速不变原理分别是什么呢？

相对性原理的意思是，只要是在惯性系中，任何物理规律都保持不变。

所以，你可以放心大胆的使用任何物理规律，平时怎么用，现在仍然怎么用。例如，最简单的也是最常用的规律：时间✖速度=路程。再比如，追及问题和相遇问题的计算方法，你平时怎么计算，现在还是一样。

要注意的是，这些规律中不包含“伽利略坐标变换”，也不包含“绝对速度=相对速度+牵连速度”这个规律。因为它们本身就是老的时空变换的基本假设，只适用于低速运动的情况。

光速不变原理的意思是，只要是考虑真空中的光速，无论你在什么参考系，只要是惯性系，它都是一个常数c=299,792,458m/s，一般情况下近似为300,000,000m/s。

对很多人来说，上面这两条原理，一说都知道，也似乎明白其含义，但就是不会用。他们希望有一种统一的分析流程来兑现它们，能够以不变应万变、傻瓜式地解决所有狭义相对论的计算问题。

那到底有没有某种统一的流程或方法呢？

当然有啊！爱因斯坦早在100多年前就帮我们设计好了，它就是事件的时空表示和时空的洛伦兹变换！

没错，要真正搞懂狭义相对论，会计算狭义相对论的各种问题，最根本的方法要领是：搞懂事件的概念，会用时空坐标表示事件，会用洛伦兹变换。

只要你掌握这个方法，无论什么题目，我保证你都能手到擒来！

好，下面就来帮助你学会这一方法。光说理显得太惨白无力，本文选择了8个典型问题来阐述如何运用该方法。

02

事件与洛伦兹变换

在进入问题之前，先简单的讲一下标准事件的表示和洛伦兹变换。

首先说事件。

物理上的事件是指某个地点某个时刻发生的事。它与实际中发生的事情不同，实际事情往往可被抽象为一个或多个事件，如果是一个过程，往往关注它的初始和末尾时刻对应的两个事件。

在确定的参考系中，任一事件具有明确的时间点和空间位置。因为时间是1维的，空间是3维的，一共4维，所以就用4个数构成的坐标

来抽象地表示一个事件。

例如

就代表时钟读数是5秒时，发生于x轴上，且x坐标为1米处的一个事件。

宇宙中的每个事件都具有唯一性。什么意思呢？凡是在一个参考系中被记录的一个事件，在任何其他确定的参考系中，有且有一个对应的事件表示，所有不同参考系中的表示都指向同一个事件。

再来说洛伦兹变换。

设有两个参考系S和S‘，它们各自的坐标系原本完全重合，此时它们的时钟记录的时间是相等的，设为t=t'=0时刻。从此刻开始，S‘系相对S系沿其x轴正方向以恒定的速度

运动，如下图所示。

若某个事件在S系中的时空坐标为

在S‘系中的时空坐标为

根据相对论基本假设，从S系到S‘系的坐标变换为

从S’系到S系的坐标变换为

前者叫洛伦兹正变换，后者叫洛伦兹逆变换。

注意，根据洛伦兹变换，两个参考系中的事件的位置矢量、两个参考系原点相对位置矢量不再构成一个封闭的矢量三角形！因此下面这类图不再适用了，它只能代表伽利略变换。

所以，我们一定要转变观念——现在的时空变换是洛伦兹变换，不是伽利略变换，不仅位置矢量如此，速度矢量也一样，因此相对速度、牵连速度和绝对速度三者不再遵循简单的矢量和关系了！

设某点在S系中的速度为

，在S‘系中的速度为

，则根据上述坐标变换可推出两个参考系之间的速度变换关系。

从S系到S‘系的速度变换为

从S‘系到S系的速度变换为

有人搞不清什么时候用正变换，什么时候用逆变换。

其实很简单！

等号的右侧代表源参考系，而等号的左侧代表变换的目标参考系。那么，当目标参考系的运动速度

沿源参考系的x轴正向时，就用正变换；而当目标参考系的运动速度

沿源参考系的x轴的负向时，就用逆变换。

温馨提示：有人以为从不带撇变到带撇的一定是正变换，反过来是逆变换，这当然属于死记硬背导致的错误理解！带撇和不带撇都只是随意的符号而已。

洛伦兹变换中，

和

频繁出现，为了方便，我们分别用

和

代替它，这样洛伦兹变换写起来就简便一些。

另外，虽然事件本身是4维坐标，但按洛伦兹变换，y和z坐标一般都是零，经变换后还是零；并且，当物体的速度

与参考系的相对速度

同向时，y和z方向的分速度是零，经变换后也是零。

所以，一般情况下，y和z方向的坐标和速度可忽略。为了简便，我们用

来表示事件。这样一来，洛伦兹变换就只需要考虑

和

就够了。所以本文后面的计算一般都采用如下简写的洛伦兹变换。

考虑两个事件

和

，定义它们的时间间隔和空间间隔（合称时空间隔）如下

若

，则事件1先发生，反之则事件2先发生。

不同参考系中时空间隔同样遵循洛伦兹变换规则，即

对于坐标、间隔的逆变换以及速度变换等，可照此自行写出，这里不再列举。

好了，两方面的预备知识讲完了。

03

问题清单

下面先列出全部的问题。这些问题的答案附在文后。如果你你能轻松地算出正确答案，你可以划过此文，否则还是建议你认真读一遍此文，保证你能彻底搞懂狭义相对论的各种计算问题。

问题1

一艘飞船以

的速度从地球出发飞向月球，月球距离地球38.4万公里。则：

1.1 在地球上的观察者看来，飞船要花多长时间达到月球？

1.2 在飞船上的观察者看来，地球和月球之间的距离是多少？

1.3 飞船上的时钟在整个旅行过程中记录的时间是多少？

问题2

一列长度为

的列车以

的速度经过一个车站。在某一时刻，一个光脉冲从列车中心点向车尾（点A）和车头（点B）发射。则：

在站台上的观察者看来，光信号到达B点和光信号到达A点之间的时间差是多少？

问题3

一个人站在地上，仰头凝视正上方的太阳（他戴了保护镜）。某航天器（设长度为

）以相对于地球的速度

在人的头顶上飞过。设航天器的飞行速度与人看太阳的视线垂直。在该观测者看来，航天器对太阳光的遮挡将持续多久？（设地球相对于太阳的运动可以忽略）

问题4

长度为

的杆静止在S'参考系中，并与x’轴正向形成45°角。S'参考系相对于参考系S以速度

沿x轴（该轴与S'参考系的x'轴平行）方向运动。则：

4.1 观察者在S中测量的杆的长度是多少？

4.2 杆与S系的x轴之间的角度是多少？

问题5

不稳定的粒子会在一定的时间内衰变，在粒子所在参考系测得的这个时间长度被称之为粒子的寿命。在某次实验中，产生了一个某种粒子，设粒子以

的速度运动，并测得它在距离产生点

的地方衰变（在实验室参考系中测量）。则

该粒子的寿命是多少？（用ns作单位）

问题6

在地面参考系中，航天器A和B沿x轴正向运动，速度分别为0.8c和0.6c，将二者经过彼此的时刻记为

。此时A和B的时钟也显示为0时刻，设当A的时钟显示为4s时，它发出一光脉冲射向B。则

6.1 设航天器在同一条线上运动，从航天器B看，航天器A的速度是多少？（以c为单位给出答案）

6.2 从航天器经过彼此到航天器B接收到来自A的脉冲的过程中，航天器B的时钟记录了多长时间？（以秒为单位）

问题7

一艘宇宙飞船以相对于地球以0.3c的速度沿x轴正向飞行。在

时，从宇宙飞船向x轴正向发射一导弹，导弹相对飞船的速度为0.8c。（假设导弹在发射的那一刻就达到了这个速度，而宇宙飞船的速度在发射导弹时不会改变）。则

7.1 导弹相对于地球的速度是多少？（以c为单位给出答案）

7.2 在时间

秒（在宇宙飞船的参考系中）时，飞船向导弹发射激光脉冲。激光脉冲击中导弹，并在击中瞬间将其摧毁。设发射导弹的那一刻，地球、宇宙飞船和导弹的时钟都被设置为零时刻。

在导弹的参考系中，导弹是什么时候被摧毁的？（以秒为单位）

7.3 在宇宙飞船的参考系中，导弹爆炸（摧毁）时发射的光是什么时候到达飞船的？（以秒为单位）

问题8

一只飞船和一颗彗星分别以

和

的速度相对地面在一条直线上相向而行，地面上的观察者看到，某个时刻，飞船和彗星分别位于点A和B，按此速度，两者将在5s后发生碰撞，问飞船上的人还有多长的时间来调整航向，以避免这场碰撞?

04

详细解答过程

题目列完了，下面咱们来逐一解答吧。

注意：下面讲解中涉及的纯粹数学计算，不外乎加减乘除和平方开方，没必要啰嗦太多，有不懂的可以自行算一算就知道啦！

问题1

一艘飞船以

的速度从地球出发飞向月球，月球距离地球38.4万公里。则：

1.1 在地球上的观察者看来，飞船要花多长时间达到月球？

1.2 在飞船上的观察者看来，地球和月球之间的距离是多少？

1.3 飞船上的时钟在整个旅行过程中记录的时间是多少？

解答

用符号

表示表示38.4万公里，用

表示0.58c。

设以地球（月球）为S系，以飞船为S’系。一开始二者重合，之后S’系沿S系的x轴正向运动，速度为

。

事件1：飞船从地球出发，事件2：飞船到达月球。

在地球看来，飞船需用时

到达

的地方，故在S系中事件1为（0,0），事件2为（

,

）。

这里的

就是地球上的人看飞船完成旅行所用的时间，计算得

秒，第1.1问解决。

而在飞船看来，事件1为（0,0），事件2为（

,

）。

根据洛伦兹变换，从S系到S’系用正变换，即

代入

和

的值计算得

，

秒 ，这就是飞船上的钟记录的用时，第1.3问解决。

剩下第1.2问——飞船上看地月之间的距离是多少？

运动参考系中的观察者要测量某段距离，必须保证同时获得该距离两端的坐标，这是距离的定义自身所要求的。

设飞船参考系（即S’系）获得地月两点的坐标的两个事件分别为

（0,0）和（

,0）

对S系来说，根据洛伦兹逆变换，上述两个事件分别为

（0,0）和（

,

)

因为S系相对地月距离静止，故地月上发生的任何事件之间的空间距离必定就是地月之间的距离，故这里的

就是

，即

从而得

万公里，第1.2问解决。

第1道题讲完了。不知读者你有何看法？

估计很多人可能会说：感觉第1.2和1.3问根本不需要这么复杂，直接根据固有时和运动长度缩短的规律就可得到嘛！

的确如此！但本文主打一个“以不变应万变”嘛，毕竟洛伦兹变换是体现相对论的两条基本原理的根本工具，直接从它出发得到结果是理所当然的！

本人认为，学习物理，不要一开始就试图用那些特殊的推论，应该尽量多用一般化的规律，确保熟练掌握最基本的物理原理。等你搞透了基本原理，那些五花八门的推论和各种新奇脑回路自然就可以见怪不怪，信手拈本来了！

可能有人会困惑：为什么第一个事件总是（0,0）？

因为我们不关心第一个事件之前的那些时空，为了简便，我们一般把第一个事件放在（0,0）这个点上，但并不总是如此，例如后面的第2题就不是这样。

还有人可能会问：不是两条基本假设就够了吗？但当测量运动的物体的长度时，必须同时获得物体两端的坐标，为什么要这样额外的规定？

这的确不是相对论本身约定的，但它其实是一个基本常识。或者说，这是人类对长度这个概念达成的一个共识。中国成语“刻舟求剑”讲的就是类似的道理。

实际上，一个时钟记录的时间是多少，也有一个“额外”的规定——它必须相对观察者的你静止，否则你看不到它记录的真实时间！因为相对论告诉我们，运动的时钟会变慢！

所以，为什么我们要把手表带在身上？因为只有放在身上，它才总相对它的主人静止，它记录的时间才是可靠的。

一个例题难免有某种倾向性，下面继续讲更多的例题，直到你完全弄懂为止！

好，让我们继续吧！

问题2

一列长度为

的列车以

的速度经过一个车站。在某一时刻，一个光脉冲从列车中心点向车尾（点A）和车头（点B）发射。则：

在站台上的观察者看来，光信号到达B点和光信号到达A点之间的时间差是多少？

解答

以站台为S系，以列车为S’系，设光发出时为零时刻，此时两坐标系重合，时间同步，原点位于列车中点，坐标轴正向沿A

B的方向。

在S‘系中，从发光点到A和B是等距的，由于光速不变，故光用

的时间同时到达A和B，光到达A和B分别对应的两个事件1和事件2分别为

和

二者的时间和空间间隔为（不明白？回上节看间隔的定义）

根据洛伦兹逆变换，这两件事在S系的时间间隔为

代入

计算得

，此即站台上看到A和B接受到光信号的时间差，车尾较车头更早接收到光信号。

问题3

一个人站在地上，仰头凝视正上方的太阳（他戴了保护镜）。某航天器（设长度为

）以相对于地球的速度

在人的头顶上飞过。设航天器的飞行速度与人看太阳的视线垂直。在该观测者看来，航天器对太阳光的遮挡将持续多久？（设地球相对于太阳的运动可以忽略）

解答

本题中有两个事件，地面观察者与太阳的连线（即他的视线，以下简称人日连线）先后与航天器的头部和尾部相遇的事件，题目中所求的遮光的持续时间就是这两个事件之间的时间间隔。

设地球为S系，航天器为S'系，零时刻时二者重合，此时，二者共同的坐标原点位于航天器的头部。

对S‘系来说，人日连线沿着反方向以速度

运动，故航天器头部和尾部抵达人日连线的事件1和2分别为

和

二者的时间和空间间隔为

根据洛伦兹逆变换，这两件事在S系的时间间隔为

代入上述值计算得

你可能会发现，对地面观察者来说，这两个事件是同地不同时发生的，所以其时间间隔就是那个最短的固有时，即运动时

除以

，与上述结果一致。

问题4

长度为

的杆静止在S’参考系中，并与x’轴正向形成45°角。S’参考系相对于参考系S以速度

沿x轴（该轴与S'参考系的x'轴平行）方向运动。则：

4.1 观察者在S中测量的杆的长度是多少？

4.2 杆与S系的x轴之间的角度是多少？

解答

本来这个题可以用洛伦兹收缩来快速求出，但本文尽量想用最原始的洛伦兹变换来求，所以先不考虑这些方法。

由于杆是倾斜的，涉及y坐标，故此题中的事件应该用

的形式来表示。为了简便，设杆子的一端在S’系的原点，零时刻时，这一端也在S系的原点。

在S系中，要确定杆的长度，必须同时获得杆两端的坐标，设获得杆两端坐标的两个事件分别为

和

根据洛伦兹正变换，变换到S‘系，这两个事件分别为

和

由于S’系相对杆静止，上面事件的空间间隔就是杆长

，故有

故得

从而得到S系中测得的杆长

为

代入v=0.6c计算得

，第4.1问解决。

杆在S系中与x轴的夹角为

代入

计算得

第4.2问解决。

由计算可知，杆沿x方向缩短了，但在y方向维持不变，故总的长度缩短，这导致杆与x轴的夹角增大，如果用长度缩短的方法来求解，更快捷。

问题5

不稳定的粒子会在一定的时间内衰变，在粒子所在参考系测得的这个时间长度被称之为粒子的寿命。在某次实验中，产生了一个某种粒子，设粒子以

的速度运动，并测得它在距离产生点

的地方衰变（在实验室参考系中测量）。则

该粒子的寿命是多少？（用ns作单位）

解答

粒子的寿命是指在相对它静止的参考系中的测得的产生与湮灭事件的时间间隔。

设实验室为S系，设相对粒子静止的参考系为S‘系，设二者在零时刻重合，此时粒子产生，之后S’系沿S系的x轴正向运动，速度为0.64c。

根据题意，在S系中，设粒子产生和湮灭事件分别为

和

根据洛伦兹正变换，在S'系中，产生和湮灭事件分别为

和

故在S‘系中，产生与湮灭的时间间隔，即寿命为

代入数据计算得

ns。

实际上，粒子在S’系中产生和湮灭是同地不同时的两个事件，二者的时间间隔就是这一过程的固有时，而固有时必然是运动时

除以

，得到的结果与上述一致。

问题6

在地面参考系中，航天器A和B沿x轴正向运动，速度分别为0.8c和0.6c，将二者经过彼此的时刻记为

。此时A和B的时钟也显示为0时刻，设当A的时钟显示为4s时，它发出一光脉冲射向B。则

6.1 设航天器在同一条线上运动，从航天器B看，航天器A的速度是多少？（以c为单位给出答案）

6.2 从航天器经过彼此到航天器B接收到来自A的脉冲的过程中，航天器B的时钟记录了多长时间？（以秒为单位）

解答

设基于地面的参考系为S系，基于航天器A和B的参考系分别为S‘系和S‘’系，零时刻时，三个参考系重合。

依题意，零时刻时，A和B刚好都位于共同的原点。从此刻开始，S‘和S’‘系都沿S系的x轴正向运动，速度分别为0.8c和0.6c。

在S系中，A的速度是

，而B，也就是S’‘系相对S系的速度为

，根据洛伦兹速度正变换，A在S’‘系中的分速度

为

由于

和

都为零，故

和

也都为零，故A在S’‘系中的速度即为5c/13，即B看到A的速度，第6.1问解决。

再来看第6.2问。

S‘系中，A发光事件为

该事件在B（也就是S’‘系）看来表示为

由于上面已经求出，在S''系（即B）中，A的速度为 5c/13，这说明S’系相对于S‘’系的速度为5c/13，则S‘’系相对于S‘系的速度为

-5c/13。

根据洛伦兹变换，（注意：由于速度

本身是负的，所以仍然用洛伦兹正变换），S’系中的A发光事件变换到S’‘系为

代入

,

以及

得

由此可知，从A发出的光，在B看来是位于5c/3处的光向自己射来，由于光速不变，显然光达到B需要的时间为

故B接收到光的时刻为

这就是航天器B的时钟记录的时间，第6.2问解决。

其实第6.2问还有其他多种做法，例如，将A的发光事件转换到S系中，然后再根据简单的相遇问题，求出光与B相遇的事件时空表示，然后再从S系变换到S''系，就可得出B的时钟计时。

问题7

一艘宇宙飞船以相对于地球以0.3c的速度沿x轴正向飞行。在

时，从宇宙飞船向x轴正向发射一导弹，导弹相对飞船的速度为0.8c。（假设导弹在发射的那一刻就达到了这个速度，而宇宙飞船的速度在发射导弹时不会改变）。则

7.1 导弹相对于地球的速度是多少？（以c为单位给出答案）

7.2 在时间

秒（在宇宙飞船的参考系中）时，飞船向导弹发射激光脉冲。激光脉冲击中导弹，并在击中瞬间将其摧毁。设发射导弹的那一刻，地球、宇宙飞船和导弹的时钟都被设置为零时刻。

在导弹的参考系中，导弹是什么时候被摧毁的？（以秒为单位）

7.3 在宇宙飞船的参考系中，最早什么时候知道导弹被摧毁？

解答

以地球为S系，飞船为S‘系，导弹为S’‘系。在发射导弹时，三个参考系对应的坐标系完全重合，此时三个参考系的时钟都指向零。

S‘系中，导弹的速度沿x'轴正向，大小为

，而S’系相对S系的速度为

。根据洛伦兹速度的逆变换，导弹在S系（即地球）中的速度沿x轴正方向，大小为

这就是地球上看到的导弹的速度，第7.1问解决。

第7.2问有多种做法，因为题目中已知的发射导弹和发出激光的时刻，都是由飞船（S‘系）中的时钟记录的。所以，先在S’系中求激光击中导弹的事件，再转换到S’‘系（导弹），比较方便。

在飞船看来，激光去追赶导弹，这是一个简单的追及问题——激光以光速去追赶以0.8c的速度飞行的炮弹，二者相距

，故需用时

此时炮弹（瞬间已摧毁）的位置是

S‘系（飞船）的时钟的时间为

在S’系，导弹被摧毁的事件表示为

S’‘系相对S’系沿着它的x'轴正向运动，速度为

，采用洛伦兹正变换得到S‘’系中记录的事件的时间为

代入

，

，

得

，这就是导弹被摧毁的瞬间，导弹参考系的时钟记录的时间，第7.2问解决。

第7.3问很简单。

既然在飞船看来，导弹被摧毁的事件是位于正前方24c处，从那里发射的光射过来所用的时间，根据光速不变，当然就是24c/c=24秒啦！

因此，飞船是在30+24=54秒时接收到导弹被摧毁时产生的光信号的，这就等于收到导弹被摧毁的最早的信息了，第7.3问解决。

问题8

一只飞船和一颗彗星分别以

和

的速度相对地球在一条直线上相向而行，地面上的观察者看到，某个时刻，飞船和彗星分别位于点A和B，按此速度，两者将在5s后发生碰撞，问飞船上的人还有多长的时间来调整航向，以避免这场碰撞?

解答

按照题意，飞船在撞上彗星之前的任何时候操作都来得及，因此飞船可用来调整航向的时间一直持续到它与彗星相遇。

所以，只要求出飞船参考系中彗星到来的时间即可。这有多种求法，这里用最容易懂的方法——先表示出地球参考系S中的碰撞事件，再根据洛伦兹变换，求出飞船参考系S‘中该事件的时间。

设地球参考系S和飞船参考系S'在零时刻重合，此时二者的原点在飞船的位置，之后，S'系沿S系的x轴正向以0.6c的速度运动。

在地球参考系S中，碰撞事件表示为

其中

,

。

根据洛伦兹正变换，S‘系中的事件时间为

S’系相对S系速度为

，代入得

秒，这就是飞船可以用来调整航向的时间。

若熟悉固有时的概念，这个题可以更简洁。

在飞船自身看来，它是在原地等待碰撞，所以它经历的事件（零时刻事件和碰撞事件）是同地不同时的，故时间间隔就是固有时，而固有时总是等于运动时除以

， 故有

与上述方法结果一致。当然，这个题还有很多种方法，不信你可以想想试试。

好了，到此，全部的8个题目都讲完了，不知道你能看懂不？

总之一句话——

只要理解好事件的概念，会用洛伦兹变换，狭义相对论非常简单！

再说明一下，本文所采用的解答方法可能并不是最简洁的，因为本文的宗旨是让读者理解和掌握“事件表示及其洛伦兹变换”这个最根本的方法，因此那些什么时间延缓、长度缩短的方法并没有过多强调。

后面有时间，再将时间延缓和长度缩短的本质讲一讲。尤其是，为什么这两种效应都是相对的？就一个具体问题，能否验证这两种效应的确是相对的？

当然，有读者可能会抛出大杀器：孪生子效应的问题，为什么却没有相对性？基于洛伦兹变换是否也能讲清楚呢？

没问题！诸君先消化好此文，后面本号将用纯粹的洛伦兹变换的方法，助你厘清你心中的那个难懂的孪生子效应，保证你彻底搞懂它！

END

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