【高数】收敛关系：级数与部分和、级数与数列、数列与子数列、级数与子级数

目录

一、概念理解

1. 级数是什么？

二、区别与联系

1. 级数、部分和

2. 级数收敛、数列收敛

3. 数列收敛、子数列收敛

4. 级数收敛、子级数收敛

三、小结

疑问：级数是无穷数列的和，那为什么还有部分和，为什么还有级数的和，难道是和的和？

《高等数学》同济七版：是从圆的面积引出。求圆的面积是一个由近似到精确的过程，不断地切分出小块面积加到原来的面积中，最终趋向于一个数值。这就是级数的和。

《高数18讲》：我们把无穷数列的各项用“+”连接起来得到的记号叫做无穷级数，也就是下式左侧。

（1）为什么要引入部分和？

形式上是无穷项的相加求和，但实际是不可操作的，因为无穷多，所以不可能一一相加求得，必须借助极限的工具研究。所以引入了部分和数列，也就是 n=1 的和，n≤2 的和......直到 n→∞时，观察有限项的和的变化趋势，来研究部分和的数列是否存在极限，也即是级数的和是否存在。所以级数是个记号，表示的是一个和，但需要通过研究部分和的极限是否存在，来看级数是否收敛，也就是这个无穷多项的和是否存在。

（2）级数与部分和的区别？

级数是无穷多项的和。部分和，是指将级数中的前多少项（一部分项）拿出来，组成一个新的数列。

级数的和，可以理解为n→∞级数的部分和。

《高等数学》：数列收敛，充要条件是任意子数列都收敛。

《收敛数列的两点注记》：https://www.ixueshu.com/document/16fb6a84a74c9cb9318947a18e7f9386.html

《一个数列收敛性质的应用和推广》：http://www.doc88.com/p-3406764084757.html

证明了“为什么通过奇子列、偶子列收敛于同一值，可以推出数列收敛”。

《独立和子序列的完全收敛性》：https://www.ixueshu.com/document/cdbfa42ffa2bfb84318947a18e7f9386.html

（基本上是用数学符号表达的，完全没看懂。先放个链接。）

级数与子级数的收敛关系，是从数列与子数列中类比而得，且可以被证明。

（1）由级数推子级数

若 ∑a_n 收敛，则 ∑a_2n-1 未必收敛。如：。

若 ∑a_n 收敛，且 a_n ≥ 0，即正项级数，则 ∑a_2n-1 、∑a_2n 一定收敛。

（2）由子级数推级数

若任意项级数，若 ∑a_2n-1 、∑a_2n 均收敛，则 ∑a_n 一定收敛。

《子级数的几个结果》：https://www.ixueshu.com/document/62c5aac24cfde0d2318947a18e7f9386.html

《关于级数与子级数之间敛散性关系的一些结论》：https://www.ixueshu.com/document/cdf5c79e05220d99.html

（这篇有大量结论，可以比较着看，条件也说明得很详细。）

（3）级数与片段子级数

若 ∑(a_2n-1 + ∑a_2n) 收敛，则 ∑a_n 未必收敛。如 an=(-1)^n。

若 ∑a_n 收敛，则 ∑(a_2n-1 + ∑a_2n) 一定收敛。（因为，收敛函数，加括号仍收敛。）

《级数与子级数的敛散性关系》：https://wenku.baidu.com/view/c763e98ca0116c175f0e48bf.html

推广到 ∑a_kn ……的子级数、以及片段子级数的相关结论。

疑问：级数和反常积分的关系？后面再次复习反常积分时总结。

1. 级数是个记号，表示的是一个和，但需要通过研究部分和的极限是否存在，来看级数是否收敛。

2. 若级数收敛，则对应通项的数列必然收敛；数列收敛，未必其和就收敛。

3. 数列收敛，充要条件是任意子数列都收敛。

4. 以及由数列的敛散性，类比（且可被证明）得出的大量结论（见上述链接）。

P.S. 我不信学不会它！已经被级数折磨十天了，终于想明白了好多地方。迎难而上，就是我的宿命。没有不可以，除非我放弃，我不要放弃。