矩阵相关定义性质全总结

2024-06-01 21:57| 来源: 网络整理| 查看: 265

矩阵相关定义性质全总结 0.前言

矩阵是线性代数中的核心内容，所以我写这篇文章对矩阵（研究生以下阶段）进行一个完整的叙述。虽然是主要说矩阵，但是我也会将行列式、向量、线性方程组三个方面也包含在内，不过是概述的形式，具体的叙述会另外展开写。能够见到的大多数文章还是以对矩阵的介绍为主，我想可能很多人最需要的是了解矩阵的有哪些细分（比如矩阵相似、矩阵合同），以及这些细分的充要、必要、充分条件，还有这些细分的性质。所以我会在整体介绍完之后，进行一个细分的总结。本文适合考研或在学线代者复习线性代数。本文是总结，一些费时而又用处不大的图不会展示，见谅。

1.行列式、向量、线性方程组

将这三者写在最前面，我不会咋此进行展开，但是会另写文章叙述。行列式、向量、线性方程组、特征值和特征向量其中行列式是矩阵计算的基础，内容不难，但是涉及一些计算技巧。向量是构成线性方程组的重要部分，而我们都知道，矩阵最开始就是为了表示线性方程组的。

2.概念定义：m×n矩阵为m×n个数排成的m行n列的表格，当m=n时，矩阵A称为n阶方阵或者n阶矩阵。零矩阵：矩阵所有元素都为0。同型矩阵：A矩阵为m×n矩阵，B矩阵为s×t矩阵，如果m=s,n=t，A和B即为同型矩阵。A和B相等：两个同型矩阵对应的元素都相等|A|（detA）:n阶方阵A构成的行列式。

#只有方阵才有行列式 #矩阵A是表格，而行列式|A|是数

3.运算加法：两个同型矩阵可以相加数乘：k为数，数乘时是将k与矩阵中每一个元素进行乘积乘法：设A是一个m×s矩阵，B是一个s×t矩阵（A的列数=B的行数），则A、B可乘，且乘积AB是一个m×t矩阵，记为C。其中C的第i行、第j列元素Cij是A的第i行s个元素和B的第j列s个对应元素两两乘积之和。（每个新元素等于原来两个矩阵对应行元素逐个乘上对应列元素，再加和）转置：将m×n型矩阵A=[aij]m×n的行列互换的到的n×m矩阵[aji]n×m，称为A的转置矩阵。矩阵多项式：设A是n阶矩阵，f(x)=amxm+……+a1x+a0是x的多项式，则称 amAm+am-1Am-1+……+a1A+a0E为矩阵多项式，记为f(A)

#性质： Ⅰ.加法

A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=A (其中O是元素全为0的同型矩阵)A+(-A)=O

Ⅱ.数乘

k(mA)=(km)A=m(kA)(k+m)A=kA+mAk(A+B)=kA+kB1A=A0A=O

Ⅲ.乘法

(AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（注意顺序不可以颠倒）

Ⅳ.转置

(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT(AB)T=BTAT(AT)T=A

#注意：

AB≠BAA≠O，B≠O，但有可能AB=OAB=AC，A≠O不能推出B=C(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+E)2=A2+2A+E(A+E)(A-E)=A2-E2AB=O 可推出B的列向量是AX=0的解 4.伴随矩阵

A*由矩阵A的行列式|A|的所有代数余子式构成，列对应行。 AA* = A*A=|A|E (A*) -1=(A-1)*=（1/A）A(|A|≠0) (KA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)* |A*|=|A|n-1 (A*)*=|A|n-2A(n>=2) A-1=(1/|A|)*A* (AB)*=B*A*

对于伴随矩阵的秩：在这里插入图片描述

5.可逆矩阵

A、B为n阶矩阵，且AB=BA=E，当A为可逆矩阵或非奇异矩阵， B是A的逆矩阵，A-1=B 5.1定理：

A可逆，则A的逆矩阵唯一A可逆|A|≠0（A满秩）设A和B是n阶矩阵，且AB=E,则BA=E,A-1=B

5.2n阶矩阵A可逆的充分必要条件：

存在n阶矩阵B，使AB=E（BA=E）.|A|≠0，或者A满秩，或者A的列（行）向量线性无关齐次方程组Ax=0只有零解任意b,非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解矩阵A的特征值全不为0能表示成一些初等矩阵的乘积：PN…P2P1A=E

5.3运算性质：

k≠0，(kA)-1=(1/k)A-1如果A,B可逆，则(AB)-1=B-1A-1，特别地(A2)-1=(A-1)2AT可逆，则（AT)-1=(A-1)T(A-1)-1=A|A-1|=1/|A|

#即使A,B和A+B都可逆，一般的(A+B)-1≠A-1+B-1 5.4求逆矩阵的方法

公式法：|A|≠0，则A-1=（1/|A|）A*初等变化：(A|E)---->(E|A-1)用定义求B：使AB=E或BA=E，则A可逆，且A-1=B分块矩阵：对角线直接求逆矩阵，副对角线求逆矩阵之外还好交换位置。 6.初等矩阵

6.1.1初等变换：设A是m×n矩阵，进行初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称为初等变换。

倍乘：用某个非零常数k(k≠0)乘A的某行（列）的每个元素。互换：互换A的某两行（列）的位置。倍加行（列）：将A的某行（列）元素的k 倍加到另一行（列）。

6.1.2初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。如：

E(2(k)):对第二行倍乘E(1,2):第一、二行（或一、二列）互换E(13(k)):第一行的k倍加到第三行，或者第三列的k倍加到第一列

6.1.3等价矩阵：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价（可能有多个矩阵与A等价，其中等价的最简矩阵被称为A的等价标准型）

6.2性质：

初等矩阵的转置仍然是初等矩阵初等矩阵均是可逆矩阵（|A|≠0，满秩），且其逆矩阵仍是初等矩阵。用初等矩阵P左乘（右乘）A，其结果PA(AP)相当于对A作相应的初等行（列）变换。

6.3行阶梯矩阵，行最简矩阵 6.3.1行阶梯矩阵：

如果矩阵有零行（即这一行元素全是0），则零行在最底部每个非零元素的主元（即该行的最左边的第一个非零元），它们的列指标随着行指标的递增而严格增大。 6.3.2行最简矩阵：是行阶梯矩阵非零行的主元都是1主元所在的列的其他元素都是0 7.分块矩阵

后补

8.方阵的行列式 |AT|=|A||kA|=kn|A||AB|=|A||B|(特别的|A2|=|A|2)|A*|=|A|n-1|A-1|=|A|-1对角矩阵正对角：|A||B|,副对角:|A-1|=|A|-1 9.矩阵的秩

9.1.1k阶子式：在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k

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