低调的数学大师，当代几何巨擘

佩雷尔曼

在七十年代，尽管格罗莫夫的研究工作蒸蒸日上,但苏联的政治和研究环境对他而言越来越恶劣(他的母亲是犹太人，老师罗赫林也是犹太人，但这段复杂的风波我们就不多说了)。1970年，在法国尼斯举办的国际数学家大会邀请格罗莫夫(时年不到27岁！)前去做一个报告，但当局毫不留情地禁止格罗莫夫离境。直到1974年，格罗莫夫“顺利”地移民到了美国，在纽约大学石溪分校任教。1981年他又辗转来到法国，先后在巴黎六大和国家科学高等研究院工作，凭借出色的研究荣获终身教授职位。

巴黎六大

凭借一系列主要集中在黎曼(度量)几何和辛几何上的重大成就，格罗莫夫先在1993年荣获沃尔夫数学奖(时年不足50岁，对于沃尔夫奖来说算是非常年轻了)，后又于2009年荣获阿贝尔奖。正如阿贝尔奖的颁奖词说的一样，格罗莫夫对于当代几何学的贡献是革命性的，他的研究成就和作为数学家的谦逊风格，这些对于我们的数学世界而言，都是弥足珍贵的宝藏。

下面我们就简要介绍一下格罗莫夫的主要贡献。

格罗莫夫早期的工作很大程度上受到了纳什关于黎曼流形等距嵌入的研究(纳什及其贡献我们之前曾专门介绍过，见数学家也能得诺贝尔奖？——纳什小传)的影响，他的导师罗赫林让他仔细读纳什的论文。格罗莫夫后来回忆说，自己读了三遍才真正领会纳什的数学思想。受此启发，格罗莫夫提出了研究中几何偏微分方程的诸多一般性原理。

在对黎曼几何的研究过程中，格罗莫夫创造性地提出了一系列新思想和新概念，例如格罗莫夫-豪斯多夫距离，流形的收敛性以及紧性原理，从而一举解决了众多长期悬而未决的几何难题，其中的代表性成果为利用流形的截面曲率下界给出了贝蒂数的上界估计，这个结果堪称当代整体黎曼几何中最优美和重要的成就之一。

格罗莫夫著作

格罗莫夫还创造性地将几何的方法引入到了群论的研究中。1981年，格罗莫夫在著名的论文《多项式增长的群与扩张映射》中证明了一个有限生成群是多项式增长的当且仅当它是几乎幂零的，同时，他也引入了双曲群的概念，这些新方法促使离散群论发生了革命性的改变，从而极大地推动了离散几何与双曲几何的发展。在这个研究几何的过程中，格罗莫夫实际上反过来推动了代数拓扑学的发展，我们都知道，代数拓扑在几何的研究中也是不可或缺的一个重要工具。

格罗莫夫在黎曼几何中的一系列思想方法俨然已自成一派，之后度量几何学派与几何分析学派便鼎足而立，共同为现代整体黎曼几何的发展源源不断地注入活力。曾经介绍佩雷尔曼(见攻克庞加莱猜想的数学隐士——佩雷尔曼)的时候，我们提到过，格罗莫夫正是他的伯乐，佩雷尔曼前往美国研究和交流就是在格罗莫夫的帮助下完成的。事实上，佩雷尔曼在专门研究庞加莱猜想之前，是学度量几何出身的，受度量几何学派的影响是很大的，由此可见度量几何方法所带来的影响是十分巨大的。但比较可惜的是，格罗莫夫学派的方法由于更加难以掌握，国内数学界乃至整个华人数学圈里做这方面研究的数学家很少，这确实是一个很大的缺憾。

毫无疑问，格罗莫夫几乎是当代辛几何的代名词和绝对的权威，按格罗莫夫自己的说法，自己最满意的成果在辛几何上。格罗莫夫创造性地将辛几何看成是复几何的一种推广，由此提出“伪全纯曲线”这一极为深刻的概念，由此引发了研究辛几何的全新热潮并持续至今。格罗莫夫还将这方面的思想方法带进了物理之中，从而产生了“格罗莫夫-威腾”不变量这一重要的数学物理概念，深刻影响了包括弦论在内当代理论物理前沿学科的发展。

菲尔兹奖得主威腾

在1986年美国伯克利举办的世界数学家大会上，格罗莫夫应邀做全会一小时报告，事实上，这已经是他第四次受邀，从这我们也能感受到格罗莫夫在数学界举足轻重的地位。他在题为《软和硬的辛几何》的报告中，全面地分析了辛几何中浸入和嵌入，近复流形中的全纯曲线以及辛几何中的伪全纯曲线，并且通过回顾这些研究方法的历史来给未来的研究构建了蓝图。同时，他还深刻地揭示了这些几何理论与非线性分析之间的关联。

第一次听说格罗莫夫的名字是在黎曼几何课上，讲到体积比较定理时，老师提到，几何学家格罗莫夫在做了一个简单的观察后，立马将体积比较定理推广到了流形的割迹之外，使得这个被广泛使用的结论更具一般性。从此才知道，几何学界除了鼎鼎大名的丘大师外，还有这样不同学派的顶级几何大师。最近碰巧又读到了格罗莫夫在获阿贝尔奖时的采访纪录，颇受触动，而自己也是做相关方向的，对格罗莫夫学派的工作多少还算有一些浅显的了解，于是有了这篇不成文的小文章，也算是对格罗莫夫表达自己崇高的敬意。

确实，格罗莫夫的低调使得他的名字并不广为人知，但他确实一直保持着作为一名数学家的纯粹，而“纯粹”或许才是数学家们用其一生真正追求的东西。返回搜狐，查看更多